Можно ли записать законы Гаусса и Ампера в терминах дивергенции четырехвектора энергии?

За первые 20 минут этого видео Сасскинд выводит уравнение непрерывности для сохранения заряда:

$$\dot{\rho}+\nabla\cdot\vec{J}=0$$

(Где$\vec{J}=\frac{\partial\dot{q}^m}{\partial A^m} \:; \:\:\:m=1,2,3 \:\:$— это плотность тока, или, как это называет Сасскинд, просто ток.)

(И$m=1,2,3$индексирует компоненты пространства x,y,z)

А затем показывает, что это уравнение неразрывности можно записать более компактно как дивергенцию текущего четырехвектора:

$$\dot{\rho}+\nabla\cdot\vec{J}=\partial_{\mu}\mathcal{J}^{\mu}=0\:; \:\:\:\mu=0,1,2,3 \:\:$$

(Где$\mu=0$индексирует компонент времени. В остальной части этого поста фигурная буква обозначает вектор из четырех, тогда как нефигурная буква со стрелкой над ней указывает на обычный вектор с тремя пространственными компонентами.)

То есть он демонстрирует, что$\dot{\rho}$можно рассматривать как временную составляющую дивергенции тока.

Мой главный вопрос: если$\rho$является временной составляющей (т.е. дифференцируется по времени), то разве Закон Гаусса не имеет более компактного выражения в виде дивергенции четырехвектора Энергии? Вот рассуждение:

Когда уравнение неразрывности выводится из расходимости закона Ампера, мы видим, что$\nabla\cdot \dot{E}=\dot{\rho}$. Ну если$\rho$является компонентой времени, то это должно означать, что$\dot{E}=\rho$. Отсюда следует, что Закон Гаусса можно записать в виде дивергенции четырехвектора Энергии:

$$\nabla\cdot \vec{E}=\rho \:;\:\:\: \vec{E}=(E^1,E^2,E^3)\rightarrow \partial_{\mu}\mathcal{E}^{\mu}=0\:; \:\:\:\mu=0,1,2,3 \:\:$$

И как следствие следует ли, что дивергенция текущего 4-вектора равна Лапласиану 4-вектора Энергии?

$$\partial_{\mu}^2\mathcal{E}^{\mu}=\partial_{\mu}\mathcal{J}^{\mu}$$

Рассуждение: если$\rho$является временной составляющей, то расходимость закона Гаусса дает:

$$\nabla^2\vec{E}=\dot{\rho}$$

...что, поскольку$\dot{E}=\mathcal{E}^{0}=\rho$, также можно написать

$$\partial_{\mu}^2\mathcal{E}^{\mu}=0$$

Но из компактного выражения Сасскинда уравнения неразрывности мы знаем, что$\partial_{\mu}\mathcal{J}^{\mu}=0$. Поэтому их можно приравнять:$\partial_{\mu}^2\mathcal{E}^{\mu}=\partial_{\mu}\mathcal{J}^{\mu}$.

И, наконец, если это следствие верно, то не следует ли из него также, что закон Ампера имеет более компактное выражение:

$$\partial_{\mu}\mathcal{E}^{\mu}=\nabla\times\vec{B}$$

Рассуждение: интегрируя обе части следствия, вы получаете:

$$\partial_{\mu}\mathcal{E}^{\mu}=\mathcal{J}^{\mu}$$

Но правая часть этого также может быть записана:

$$\mathcal{J}^{\mu}=\rho+\vec{J}$$

...что, поскольку$\rho=\dot{E}$, это также:

$$\mathcal{J}^{\mu}=\dot{E}+\vec{J}$$

Но RHS этого всего лишь Закон Ампера ($\nabla\times\vec{B}=\dot{E}+\vec{J}$). Поэтому закон Ампера имеет следующее компактное выражение через дивергенцию четырехвектора энергии:

$$\partial_{\mu}\mathcal{E}^{\mu}=\nabla\times\vec{B}$$

Из чего автоматически вытекает желательное свойство (я думаю), что магнитное поле является безвихревым ($\nabla\times \vec{B}=0$) -- так как компактное выражение для закона Гаусса есть$\partial_{\mu}\mathcal{E}^{\mu}=0$.