Сохранение энергии / вектор Пойнтинга

На этой странице указано:

«Единственными парами полей (a,b), для которых мы можем получить ненулевое значение вектора Пойнтинга для большого расстояния r₀ по сфере, являются (R, R); (излучение, излучение) и (2, R ); (релятивистская, радиационная). Причина в следующем. Сферическая поверхность увеличивается как r₀² и каждое поле в этих парах, на этой поверхности, убывает как 1/r₀, значит, их произведение убывает как (1/r₀)². Следовательно, даже если r₀ стремится к бесконечности, поверхностный интеграл (уравнение (33)) вектора Пойнтинга остается неизменным. В этом случае из сферы выходит вполне определенное количество мощности независимо от значения r₀. Таким образом, эта энергия теряется для всегда."

Нет ли здесь ошибки, так как наверняка каждое поле уменьшается по мере$\frac{1}{r_{0}^{2}}$, что означает, что их произведение уменьшается как$\frac{1}{r_{0}^{4}}$?

Например, в моих заметках по физике плазмы в середине вывода закона сохранения энергии (где$E^{f}$— энергия электромагнитных полей) оно гласит:

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} E^{f}}{\mathrm{~d} t}=& \varepsilon_{0} \int \mathrm{d}^{3} x \mathbf{E} \cdot\left[\frac{1}{\varepsilon_{0} \mu_{0}} \nabla \times \mathbf{B}-\frac{1}{\varepsilon_{0}} \mathrm{j}\right]+\frac{1}{\mu_{0}} \int \mathrm{d}^{3} x \mathbf{B} \cdot(-\nabla \times \mathbf{E})=\\ &-\int \mathrm{d}^{3} x \mathbf{j} \cdot \mathbf{E}+\frac{1}{\mu_{0}} \int \mathrm{d}^{3} x \mathbf{E} \cdot(\nabla \times \mathbf{B})-\frac{1}{\mu_{0}} \int \mathrm{d}^{3} x \mathbf{B} \cdot(\nabla \times \mathbf{E}) \end{aligned}$$ Использование идентификатора вектора $$\nabla \cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{B})=\mathbf{B} \cdot(\nabla \times \mathbf{E})-\mathbb{E} \cdot(\nabla \times \mathbf{B})$$ мы можем написать: $$\int \mathrm{d}^{3} x[\mathbf{E} \cdot(\nabla \times \mathbf{B})-\mathbf{B} \cdot(\nabla \times \mathbf{E})]=-\int \mathrm{d}^{3} x \nabla \cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{B})=\int_{S}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\sigma}=0$$ что касается$\mathbf{x} \rightarrow \infty$поля должны стремиться к нулю, чтобы энергия оставалась конечной.

Это говорит о том, что поля уменьшаются намного быстрее, чем увеличивается окружающая их поверхность, а это означает, что поток не пересекает поверхность на бесконечности, что противоречит веб-странице, указанной в верхней части этого вопроса. Меня очень смущают оба этих объяснения, и я хотел бы знать условия/случаи, при которых поверхностный интеграл вектора Пойнтинга действительно обращается в нуль.

РЕДАКТИРОВАТЬ : Обратите внимание, что для энергосбережения в этом случае $\frac{\mathrm{d} E^{f}}{\mathrm{~d} t}= -\int \mathrm{d}^{3} x\ \mathbf{j} \cdot\mathbf{E}$ должны быть удовлетворены.