Сопротивление, пропорциональное длине, и его отношение к величине тока

Предположим, мы прикладываем тот же pd к проводу вдвое большей длины. В этом случае градиент потенциала уменьшается вдвое, поэтому вдвое уменьшается напряженность электрического поля. [Это следует из$work=force \times distance$; pd дает работу на единицу заряда; напряженность поля - это сила на единицу заряда.]

Если напряженность электрического поля уменьшится вдвое, ускорение электронов между столкновениями уменьшится вдвое, поэтому средняя дрейфовая скорость электронов уменьшится вдвое. [На среднее время между столкновениями это не сильно влияет, так как скорость электронов почти полностью тепловая и намного больше, чем средняя скорость дрейфа из-за поля. Мы делаем грубое предположение, что в среднем каждый раз, когда он сталкивается с решеткой, электрон теряет всю скорость, которую он приобрел от поля, и снова начинает ускоряться.]

Если скорость дрейфа уменьшится вдвое, ток уменьшится вдвое, а сопротивление удвоится.

Тот факт, что сопротивление пропорционально длине и обратно пропорционально площади, можно интуитивно показать с помощью небольшого мысленного эксперимента.

Скажем, у вас есть проводник длиной$L$и когда вы подаете заявку$5 V$, ток$3 A$течет через него. Итак, сопротивление равно$\frac{5}{3} \Omega$. Теперь возьмите другой точно такой же проводник. Теперь, если вы соедините их встык, у вас получится проводник длиной$2 L$. Теперь, если вам нужно пройти$3 A$тока через этот новый проводник, какое напряжение вам нужно?

Ну, так как каждый из проводников требовал$5 V$пройти$3 A$через них потребуется в общей сложности$(5 + 5)V = 10 V$через объединенный проводник, чтобы пропустить такое же количество тока. Отсюда сопротивление становится$\frac{10}{3} \Omega$, что точно$2$раза больше исходного дирижера. Если вы взяли$n$проводники и соединил их встык, вы бы получили новое сопротивление$n$умножает исходное сопротивление, т.е. сопротивление пропорционально его длине.

Вы можете подумать об удвоении (или$n$раз) площадь так же, как и раньше. Применение того же$5 V$через два проводника, соединенных бок о бок, создаст$3 A$ток в каждом проводнике, всего$6 A$(или$3n\ A$) через комбинированный проводник. Создание нового сопротивления$\frac{5}{6} \Omega$, что составляет половину (n-го) исходного сопротивления. Таким образом, сопротивление обратно пропорционально площади.

Примечание. Теперь вы можете сказать, что этот метод просто доказывает это для целых кратных исходной длины/площади. Чтобы решить эту проблему, мы могли бы воспользоваться помощью дифференциальных длин/площадей. Рассмотрим исходный проводник длины$L$и площадь$A$. Вы могли бы просто сказать, что этот проводник на самом деле состоит из крошечных проводников разной длины.$\frac{L}{N}$и площадь$\frac{A}{M}$где$M$и$N$огромные числа. Строго говоря, мы говорим об дифференциальной длине и дифференциальной площади. Итак, теперь вы можете просто говорить о любом целом кратном этих дифференциальных проводников. Это доказывает пропорциональность для любой длины/площади исходного проводника, а не только для целых кратных.

NB То, что я сделал здесь, просто подумало об увеличении длины, поскольку последовательное соединение большего количества проводников увеличивает эквивалентное сопротивление. И увеличение площади за счет параллельного подключения, что снижает эквивалентное сопротивление.