Спин-орбитальное взаимодействие для классического магнитного диполя, движущегося в электрическом поле

Спин-орбитальная связь - это один из компонентов тонкой структуры атомов, который явно связан с взаимодействием спина электронов с их орбитальным угловым моментом. Его можно явно вывести из уравнения Дирака, взяв нерелятивистский предел в подчиненном порядке в$1/c$, и это дает член в гамильтониане формы$H\sim \mathbf L\cdot\mathbf S$, где$\mathbf L$и$\mathbf S$- орбитальный и спиновой угловые моменты соответствующего электрона.

Однако в дополнение (или, в большинстве случаев, вместо) этого строгого подхода форма потенциала спин-орбитального взаимодействия часто обосновывается с помощью эвристического аргумента, который примерно выглядит следующим образом:

Рассмотрим атом водорода с электроном, вращающимся вокруг ядра, и преобразуем его в рамку, закрепленную на электроне. Затем, когда электрон движется по орбите вокруг ядра, электрон не только видит электростатическое поле протона, но также видит эффективный ток, когда ядро ​​вращается вокруг него. Затем этот ток создает магнитное поле, которое взаимодействует с собственным магнитным диполем электрона.

Этот аргумент явно проблематичен, потому что в квантовой механике нет такой вещи, как траектория электрона, и нет такой вещи, как «электронная система координат»; эвристический расчет дает (разумную интерпретацию) правильные результаты, но его нельзя расширить до аргумента, который вообще имеет какой-либо смысл.

Таким образом, очень интересно попытаться разработать аналогичный эвристический аргумент, который приводит к взаимодействию в форме$H\sim \mathbf L\cdot\mathbf S$из анализа, который имеет место в системе покоя протона и не подвержен этим недостаткам. Это исследовано в предыдущем вопросе, Спин-орбитальная связь с остальной системой отсчета протона? , и, вероятно, во многих более ранних ресурсах, но я еще не видел, чтобы такой анализ дал удовлетворительные результаты.

Моя цель здесь гораздо скромнее, в надежде, что это даст более ясную физическую картину спин-орбитальной связи.

Рассмотрим поэтому классический магнитный диполь$\mathbf m=IA\hat{\mathbf n}$, который состоит из жесткой петли площадью$A$с нормальным блоком$\hat{\mathbf n}$несущий ток$I$, много меньше пространственной зависимости любых электрических или магнитных полей в задаче. Форма контура цепи не должна иметь отношения к результатам.

Этот диполь находится в центре$\mathbf r_c=\mathbf r_c(t)$, который движется по заранее заданной траектории (вы можете представить себе, что он установлен на рельсе и толкается небольшим двигателем, хотя позже мы могли бы решить для$\mathbf r_c(t)$отвечающее некоторому уравнению движения), и пересекает область с заранее заданным статическим электрическим полем$\mathbf E(\mathbf r)$. В качестве архетипического примера подумайте об эллиптической орбите вокруг центра кулоновского электрического поля.

Интересующая степень свободы - это ориентация диполя,$\hat{\mathbf n}=\hat{\mathbf n}(t)$, который следует по траектории, которая в принципе определена заранее, хотя, опять же, позже мы могли бы заставить ее следовать какому-то уравнению движения.

Тогда по моему вопросу:

• Как можно вывести, исходя исключительно из инерциальной системы отсчета начального электрического поля, энергию, связанную с ориентацией нашего классического магнитного диполя? В принципе это должно давать спин-орбитальную связь вида$\mathbf L\cdot \mathbf m$, где$\mathbf L$- орбитальный угловой момент траектории диполя.$\mathbf r_c(t)$, но как это получается из взаимодействия движущихся зарядов внутри цепи со статическим электрическим полем?

И, наконец, просто для ясности: да, это ужасная модель для электрона, потому что магнитный диполь электронов совсем не связан с циркуляцией электрического заряда. Тем не менее, я думаю, что этот метод анализа может предоставить отдельную аналогию, которая, надеюсь, может быть более ясной и менее проблематичной, чем обычная эвристика типа «предположим, что на электроне установлена ​​(инерциальная?) система отсчета», т.е. (в конечном итоге) неправильно, но, по крайней мере, внутренне непротиворечиво.