Почему не все электроны вносят вклад в общий орбитальный угловой момент атома?

Мы описываем всю систему состоянием, это состояние является комбинацией одночастичных состояний (орбиталей). Каждую орбиталь мы определяем в терминах оболочки орбитального импульса. Полная оболочка имеет нулевой общий угловой момент, поэтому несколько полных оболочек по-прежнему имеют нулевой общий угловой момент. Наконец, полная оболочка в сочетании с несколькими валентными электронами на более высоких орбиталях будет иметь угловой момент только валентных электронов. Теперь я покажу, почему полная оболочка должна иметь нулевой угловой момент.

Пример использования простейшей S-shell.

У нас есть два доступных состояния, "вверх"$|\uparrow{} \rangle$, и вниз"$|\downarrow{} \rangle$. У нас также есть ограничение, что это фермионы, а это означает, что любая комбинация должна быть полностью антисимметричной, когда две частицы меняются местами.

Если мы помещаем один электрон в S-оболочку, у нас есть два доступных состояния:

$$|\uparrow{}\rangle \text{ & } |\downarrow{}\rangle$$ Каждый из них имеет угловой момент$\frac{1}{2}$. Однако, если мы хотим добавить еще один электрон, у нас есть только одно возможное состояние, удовлетворяющее антисимметрии, $$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow{}\downarrow{}\rangle - |\downarrow{}\uparrow{}\rangle\right)$$ Это синглетная конфигурация с нулевым полным угловым моментом импульса.

Важно отметить, что существует только одно состояние с полным угловым моментом$J=0$, два состояния с$J=\frac{1}{2}$, три состояния с$J=1$(тройка) и так далее.

Здесь я изложу логику общего доказательства . Во-первых, игнорируя спин, каждая отдельная орбиталь частицы$l$имеет$2l +1$состояния с проекциями углового момента в диапазоне от$-l \leq m_l \leq l$. Во-вторых, не игнорируя спин, вы можете разместить 2 электрона на каждой орбитали со спином вверх или вниз. Это дает$2(2l + 1)$одночастичные состояния. Если мы полностью заполнили эту оболочку, это означает, что мы поместили электрон на орбиталь каждой отдельной частицы.

Теперь, если мы посчитаем все уникальные способы, которыми мы можем заполнить все орбитали, есть только один способ сделать это. Это означает, что это синглетная конфигурация, а не член более высокого мультиплета (такого как упомянутый выше триплет с 3 состояниями).

Общее состояние определяется с точки зрения наличия полного углового момента и проекции полного углового момента. Ясно, что он имеет проекцию углового момента$0$с$\sum_{m= -l}^{m = l} m = 0$. Однако, поскольку это синглетное состояние, оно также имеет полный угловой момент$0$, и мы можем рассматривать его как «ядро» без углового момента.

В качестве примечания это широко используется в атомной физике, а также в ядерной физике. В ядерной физике мы будем говорить не об электронах, а о протонах и нейтронах. Поэтому у нас есть выбор не только между спином вверх или вниз для каждой орбитали, но и между протоном и нейтроном. Это дает нам 4 частицы на каждой орбитали и становится более строгим с идеей «изоспина». Что касается большинства ядерных взаимодействий, то их взаимодействия одинаковы, поэтому мы можем рассматривать их как две проекции одного объекта, «нуклона». Полная волновая функция должна быть антисимметричной при обмене в комбинированном пространственно-спин-изоспиновом пространстве. Таким образом, заполненная оболочка орбитального импульса будет иметь нулевой угловой момент, а также нулевой общий изоспин.