Спиновый угловой момент системы частиц: связана ли с ним какая-либо энергия?

Question

Спиновый угловой момент системы частиц: связана ли с ним какая-либо энергия?

Раджеш Д.

Рассмотрим систему точечных частиц , где масса частицы $i$ является $μ_i$ и его вектор положения $\vec{r}_i$ . Позволять $\vec{r}_\text{cm}$ - вектор положения центра масс системы. Рассматривая систему из системы отсчета, прикрепленной к центру масс, система может иметь вращение вокруг центра масс, и оно определяется спиновым угловым моментом $\vec{L}_{spin}$ . Он дается выражением

{\vec{л}}_{с п я н} "=" \sum_{я} {мю}_{я} [({\vec{р}}_{я} - {\vec{р}}_{см}) \times ({\dot{\vec{р}}}_{я} - {\dot{\vec{р}}}_{см})]

$\vec{L}_{spin} = \sum_i \mu_i \Bigl[(\vec{r}_i - \vec{r}_\text{cm}) \times (\dot{\vec{r}}_i - \dot{\vec{r}}_\text{cm}) \Bigr]$

Скорость изменения этого спинового углового момента представляет собой полный крутящий момент, действующий на систему относительно центра масс в системе отсчета центра масс.

Мой вопрос в том, существует ли какая-либо (спиновая кинетическая (возможно)) энергия, связанная с угловым моментом вращения в системе отсчета центра масс? Как это определяется?

Рон Маймон

Ваша формула включает энергию «вращения» внутри. Разложение на отдельные «спиновую» энергию и поступательную энергию полезно только тогда, когда относительное движение ограничено, как для твердого тела. Если у вас просто набор частиц, нет необходимости добавлять отдельный вклад. Слово «вращение» не используется для этого типа вещей, оно просто называется «кинетической энергией протяженного вращающегося объекта». Слово «спин» обычно зарезервировано для случаев, когда угловой момент принадлежит квантовой точечной частице или частице, которую можно рассматривать как точку, а спиновая энергия находится в массе.

Раджеш Д.

@ Рон Маймон: мне нужно отделить энергию, связанную только с вращением, от общей кинетической энергии. У меня есть система, которая ограничена, но не жесткая. Есть ли способ это возможно или это не имеет смысла?

Рон Маймон

Было бы полезно, если бы вы сказали, каковы ограничения. Если оно почти твердое, как вращающееся желе, вы можете отклониться от твердого тела. Если это вращающийся двойной маятник, вы можете сохранить вид частиц. Я не думаю, что есть уникальный ответ для всех систем.

Ответы (2)

Спиновый угловой момент системы частиц: связана ли с ним какая-либо энергия?

Ваша формула включает энергию «вращения» внутри. Разложение на отдельные «спиновую» энергию и поступательную энергию полезно только тогда, когда относительное движение ограничено, как для твердого тела. Если у вас просто набор частиц, нет необходимости добавлять отдельный вклад. Слово «вращение» не используется для этого типа вещей, оно просто называется «кинетической энергией протяженного вращающегося объекта». Слово «спин» обычно зарезервировано для случаев, когда угловой момент принадлежит квантовой точечной частице или частице, которую можно рассматривать как точку, а спиновая энергия находится в массе.
@ Рон Маймон: мне нужно отделить энергию, связанную только с вращением, от общей кинетической энергии. У меня есть система, которая ограничена, но не жесткая. Есть ли способ это возможно или это не имеет смысла?
Было бы полезно, если бы вы сказали, каковы ограничения. Если оно почти твердое, как вращающееся желе, вы можете отклониться от твердого тела. Если это вращающийся двойной маятник, вы можете сохранить вид частиц. Я не думаю, что есть уникальный ответ для всех систем.

Баалкихаал · Answer 1

Подобно выводу разделения углового момента на $L_{CM}$ и $L_{internal}$ , можно получить аналогичное выражение для энергии как $E = \frac{1}{2}M_{total}v_{CM}^{2} + \frac{1}{2}\sum \mu_{i} v_{i}^{'2}$ .

Доказательство:

Е "=" \frac{1}{2} \sum {мю}_{я} в_{я}^{2}

$E = \frac{1}{2}\sum \mu_{i} v_{i}^{2}$

в_{я} "=" в_{С М} + в_{я}^{^{'}}

$v_{i} = v_{CM} + v_{i}^{'}$

Е "=" \frac{1}{2} \sum {мю}_{я} в_{С М}^{2} + в_{С М} \sum {мю}_{я} в_{я}^{^{'}} + \frac{1}{2} \sum {мю}_{я} в_{я}^{^{'} 2}

$E = \frac{1}{2}\sum \mu_{i} v_{CM}^{2} + v_{CM}\sum \mu_{i} v_{i}^{'} + \frac{1}{2}\sum \mu_{i} v_{i}^{'2}$ Так как в кадре CoM

\sum μ_{i} (r_{i} - r_{cm}) = 0 \to \sum μ_{i} v_{i}^{^{'}} = 0

$\sum \mu_{i} (r_{i}-r_\text{cm}) =0 \to \sum \mu_{i} v_{i}^{'}=0$ .

Вопрос Е Д

$QED$

L и E внутри системы Com могут быть связаны, только если тело жесткое. Можно сослаться на классическую механику Клепнера и Коленкова.

последнее утверждение в вашем ответе противоречит ответу Любоша. Надеюсь, кто-то поможет решить это
Дорогой Раджеш, я не думаю, что здесь есть противоречие. Этот ответ точно определяет то, что я имел в виду, превращая его в уравнения. Комментарий, что «это» работает только для твердых тел, верен в том смысле, что только твердые тела имеют свое собственное «постоянное» значение момента инерции. Для нежестких систем частиц можно определить значение $I$ для которых энергия расщепляется таким образом, но это бесполезно, потому что $I$ тоже может меняться произвольно.
@Luboš Motl: Уважаемый Любош Мотл, два уравнения в вашем ответе нельзя интерпретировать как замену всей системы одним телом, момент инерции которого изменяется со временем (именно то, что вы пытались дать интерпретацию мгновенного момента инерции). Просто потому, что угловая скорость всех частиц системы не одинакова. Просто попробуйте ответить, что вы имеете в виду под $\omega$ в твоем уравнении (в твоем ответе) через индивидуальные скорости частиц системы и появляется проблема!

Любош Мотл · Answer 2

Энергия, связанная с внутренним вращением, называется вращательной энергией.

http://en.wikipedia.org/wiki/Rotational_energy

определяется формулой

К "=" \frac{1}{2} я ю^{2}

$K = \frac 12 I \omega^2$

где $\omega$ - угловая частота и $I$ момент инерции относительно оси вращения

http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia
$я "=" \int д м р^{2}$ $I = \int {\mathrm d}m \, \rho^2$

где $\rho$ это расстояние бесконечно малой массы ${\mathrm d}m$ от оси вращения. Также,

я "=" я_{а б} н_{а} н_{б}

$I = I_{ab} n_a n_b$ по тензорному моменту инерции

I_{a b}

$I_{ab}$ ;

\vec{n}

$\vec n$ - единичный вектор вдоль оси вращения.

В этой ситуации система не является твердым телом, а значит, момент инерции не постоянен во времени. Подскажите, пожалуйста, какая формула в этой ситуации?
Это все та же формула, только $I$ зависит от времени. Это не так полезно, но полную энергию всегда можно разделить на внутреннюю «энергию вращения» выше и на кинетическую энергию, сосредоточенную в центре масс, $M_{total} V_{CM}^2/2$ . Это тождество независимо от того, являются ли части жесткими.
Вы имеете в виду, что $К "=" \frac{{\vec{л}}_{с п я н}^{2}}{2 я}$ $K = \frac{\vec{L}_{spin}^2}{2I}$ где $я "=" \sum_{я} {мю}_{я} [({\vec{р}}_{я} - {\vec{р}}_{см})^{2}]$ $I = \sum_i \mu_i \Bigl[(\vec{r}_i - \vec{r}_\text{cm})^2\Bigr]$ . Прошу разъяснить, прав ли я.
@ Дэвид: Я думаю, что момент инерции системы (относительно оси, проходящей через CoM) имеет смысл только для твердых тел. Когда система нежесткая, угловые скорости частиц относительно ЦМ меняются от частицы к частице, поэтому в выражении для углового момента (сумма угловых моментов всех частиц) мы не можем вынести из суммирования общую угловую скорость, поэтому мы не может получить $I\omega$ тип выражения, поэтому для нетвердых тел не существует такого понятия изменяющегося во времени момента инерции. Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь.

Спиновый угловой момент системы частиц: связана ли с ним какая-либо энергия?

Раджеш Д.

Рон Маймон

Раджеш Д.

Рон Маймон

Ответы (2)

Баалкихаал

Раджеш Д.

Любош Мотл

Раджеш Д.

Любош Мотл

Раджеш Д.

Любош Мотл

Раджеш Д.

Дэвид З.

Раджеш Д.

Как ускоряются эти шарики?

Сохранение углового момента при приложении импульса

Как эта многотельная система будет вращаться в свободном пространстве?

Каков процент рекуперации энергии в системах рекуперации кинетической энергии (KERS) в автомобилях?

Угловой момент и столкновения/чистая качка

Гироскопическая прецессия на поверхности без трения

Сохранение кинетической энергии вращения

Полный угловой момент диска вокруг неподвижной оси

сила приложена не к центру масс

Почему вещи крутятся?