Стабильный диск для моделирования NNN-тела

Я хочу смоделировать галактику$N$частицы, которые я должен сгенерировать в первую очередь. То, что я сделал до сих пор, не приводит к результату, который я хочу видеть. Я, наверное, сделал ошибку и не вижу ее. Вот что я сделал:

1) Генерировать равномерно распределенные частицы внутри единичного круга с массой$m_i = 1/N$:

Для каждой точки я делаю:

   R = 1;
   radius = R*sqrt(rand(0,1));
   phi = rand(0,2*pi);
   m = 1/N;
   x = radius*cos(phi);
   y = radius*sin(phi);

Делая это, я получаю следующее распределение:

2) Сгенерируйте скорости так, чтобы круг не взорвался и не схлопнулся:

Я хочу сгенерировать что-то, где$F_{\text{Gravity}} = F_{\text{Centrifugal}}$

С$F_{\text{Centrifugal}} = \frac{mv^2}{r}$и$F_{\text{Gravity}} = G\frac{M(r) m}{r^2}$Я могу приравнять оба уравнения и получить скорость$v$

$M(r)$это масса внутри радиуса$r$. я могу написать$M_{\text{tot}} = \pi R^2$и$M=\pi r^2$(плотность$\rho=1$). Из этих уравнений я получаю$M(r) = \frac{r^2}{R^2} M_{\text{tot}}$. Теперь я могу положить его обратно$v$и получить:

$v = \sqrt{\frac{Gr^2M_{\text{tot}}}{rR^2}}$

С$M_{\text{tot}} = G = R = 1$Я получил:

$v = \sqrt{r}$

Итак, для каждой точки я делаю:

   velocity = sqrt(radius);
   v_x = -velocity*sin(phi);
   v_y = velocity*cos(phi);

Тогда я получаю следующий результат:

Хорошо, кажется, что круг как-то взрывается. Частицы из центра движутся наружу. Мой расчет для$v$неправильно, или это просто не работает для моей цели? Нужно ли мне другое распределение скорости? В итоге для больших$t$, я не вижу формирования спиральных рукавов или какой-либо другой структуры. Я пытался$N=4000$и$N=50000$. Нужно ли мне больше частиц? Я что-то не так?