Статическое пространство-время и решение Шварцшильда

Пространство-время Шварцшильда ( М , г ) , для которого метрика является решением уравнения поля Эйнштейна в вакууме,

г "=" − ( 1 − 2 м р ) д т 2 + ( 1 − 2 м р ) − 1 д р 2 + р 2 д Ом 2
заведомо стационарен в области { р > 2 м } и я читал, что это тоже статично.

По определению пространство-время статично, если существует функция т : М → р ул, если Икс векторное поле убийства, то Икс б "=" г ( Икс , Икс ) д т , где Икс б это единственная форма, связанная с Икс через метрику г .

Теперь о том, что я не понял смысла этого определения, и поэтому я не могу понять, как, глядя на метрику выше, я могу сказать, что это статика. Я имею в виду, почему ∂ ∂ т удовлетворяет условию статичности?

Ответы (2)

рассмотрим уравнение Киллинга для Шварцшильда:

∇ ( а в б ) "=" 0

рассмотреть анзац в б "=" а ( р ) д т

Затем,

Это дает нам одно нетривиальное уравнение (t,r):

0 "=" ∂ р а − Г р т т а "=" ∂ р а − а М / р 2 1 − 2 М / р л н ( а ) "=" л н ( С ) + ( 1 / 2 ) л н ( 1 − 2 М / р 2 ) а "=" С ( 1 − 2 М / р )

Так, д т не является ковариантной формой вектора убийства, он должен быть масштабирован с коэффициентом | г т т |

Это векторное поле убийства, поскольку метрика не зависит явно от т !! А также ∂ ф убивает!
Вы ошибаетесь в комментариях выше (ответ правильный): если метрика не зависит от т тогда контравариантный КВФ ξ а "=" ( 1 , 0 , 0 , 0 ) . Правильные компоненты ковариантного KVF такие, как написал Джерри выше . Вы часто будете видеть, как люди пишут, что КВФ ∂ т но это действительно означает то же самое.
@Umaxo при работе с векторами Killing довольно стандартно работать как с повышенными, так и с более низкими компонентами индексов. Я не думаю, что последнее заявление Джерри Ширмера о том, что ξ "=" ∂ т не является вектором Киллинга. Но его выражение для ковариантных компонентов, которое можно найти из уравнения Киллинга, таково.
@Umaxo Ах, если вас не устраивает только последнее утверждение, то я с вами не согласен, я неправильно понял, что имел в виду, что сам ответ был неверным. Похоже на проблему с обозначениями.
@Eletie справедливо. Я не проверял его уравнения, только последнее предложение.
@Umaxo исправлено
И да, версия этого, которая использует явные производные лжи от метрики, а не форму, использующую ковариантные производные, вы получите ξ а ∂ а г б с термины вместо символов Кристоффеля, и это по-прежнему эквивалентно
@JerrySchirmer из вашего ответа я не понимаю, как распознать статичность решения Шваршильда ...

Все, о чем вы говорите в вопросе, имеет непосредственное отношение к производной Ли . Вы можете найти это определение в Интернете, но в его основном смысле это еще один способ измерения изменений (это должно быть очевидно из слова « производная» ). Производная Ли, в отличие от других производных, измеряет изменение поля при диффеоморфизме.

Мне нравится думать об этом так: представьте, что вы идете по горе, и вы спрашиваете себя, насколько изменится ваше положение, если вы продолжите идти вперед. Итак, что вы делаете, так это проходите определенное расстояние (должно быть бесконечно малым, но забудьте об этом прямо сейчас) в определенном направлении, а затем оглядываетесь назад, может быть, вы смотрите вниз, может быть, вверх, в зависимости от того, где вы стояли. Теперь вы можете сравнить две позиции и, таким образом, измерить некоторые изменения в вашей позиции, верно?

Ну, а теперь представьте, что вы тензор и двигаетесь бесконечно мало по траектории γ ( λ ) с касательными векторами Икс (это поле), а затем вы откатываетесь туда, откуда начали. Тогда поздравляю, вы отличились от Ли.

Вектор Киллинга (на мой взгляд, неудачное кричащее название, но просто назван в честь Вильгельма Киллинга. Можно подумать, что он "убивает" тензор в производной, поскольку он обращается в ноль.) - это просто векторное поле. Икс которая касается некоторой кривой, вдоль которой производная Ли равна нулю (тензор не меняется). В случае метрики выражение координат имеет вид

л Икс г мю ν "=" ∇ мю Икс ν + ∇ ν Икс мю "=" 0

С помощью этого вы можете проверить, что метрика на самом деле статична. Но я очень надеюсь, что после ответа вам не понадобится формула, чтобы почувствовать, почему метрика статична: после блуждания некоторого расстояния по пути чисто во временном направлении метрика Шварцшильда никак не меняется.

В приведенной выше формуле помните, что Икс мю д Икс мю КОВАРИАНТ, а Икс мю ∂ ∂ Икс мю КОНТРАВАРИАНТ, хотя оба являются одними и теми же векторами. Просто не забудьте повернуть Икс мю ∂ ∂ Икс мю в его ковариантную форму, и тогда вы можете использовать формулу.
Статическое пространство-время и решение Шварцшильда
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v