Вычисление метрического тензора из его векторов Киллинга?

В общем случае это не может работать, поскольку существуют многообразия, вообще не допускающие векторов Киллинга. Это также не может работать в общем случае, потому что векторы Киллинга не уникальны - если$K$является вектором Киллинга, то$\alpha K$для$\alpha\in\mathbb{R}$и если$K$и$G$являются векторами убийства, то так$K + \alpha G$.

Формула$g^{\mu\nu} = K_i^\mu K_i^\nu$не является инвариантным при таких изменениях базы для векторов Киллинга 2-сферы - если вы выберете$R = 2\partial_\phi$вместо этого в вашем примере это больше не работает. Так что это особенность вашего конкретного выбора базиса для алгебры векторов Киллинга, а не общее свойство векторов Киллинга.

Соседний освежитель

Если вы рассматриваете алгебру Ли$\mathfrak{g}$как векторное пространство, то алгебра Ли имеет$\mathfrak{g}$естественное действие на векторном пространстве$\mathfrak{g}$. Это называется присоединенным представлением$\mathrm{ad}_\mathfrak{g}$. Он действует как, для$X, Y \in \mathfrak{g}$,

$$\begin{equation} \mathrm{ad}_X Y = [X, Y]. \end{equation}$$ Это представление алгебры Ли из-за тождества Якоби $$\begin{equation} [X, [Y, Z]]+[Y, [Z, X]]+[Z, [X, Y]]=0 \end{equation}$$ потому что $$\begin{align} [\mathrm{ad}_X, \mathrm{ad}_Y] Z &= (\mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y - \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y ) Z \\ &= [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]] \\ &= [[X, Y], Z] \\ &= \mathrm{ad}_{[X, Y]} Z \end{align}$$ как требуется.

Форма убийства (первая версия)

Вы можете определить билинейную форму ( форму Киллинга ) на$\mathfrak{g}$как

$$\begin{equation} \kappa(X, Y) = \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}( \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y). \end{equation}$$ Трасса берется по векторному пространству$\mathfrak{g}$. Обратите внимание, что если$X$коммутирует со всеми остальными элементами алгебры Ли, то$\kappa(X, \cdot)$является вырожденным. В частности, это означает, что мы не можем использовать эту форму Киллинга для абелевых групп и должны придумать другую билинейную форму, если она вам нужна. (Популярный выбор$\mathrm{Tr}(XY)$.) На самом деле, мы можем пойти еще дальше. Теорема под названием «Критерий Картана» утверждает, что$\kappa$будет невырожденным до тех пор, пока$\mathfrak{g}$является полупростым. Поэтому для остальной части этого ответа мы будем предполагать, что$\mathfrak{g}$действительно полупростой.

Одно приятное свойство формы Киллинга состоит в том, что она инвариантна относительно присоединенного действия входных данных.

$$\begin{equation}\label{killinginv} \kappa( \mathrm{ad}_Z X, Y) + \kappa(X, \mathrm{ad}_Z Y) = 0. \end{equation}$$ Чтобы увидеть это, разверните одно из условий $$\begin{align} \kappa( \mathrm{ad}_Z X, Y) &= \kappa( [Z, X], Y) \\ &= \mathrm{Tr}_\mathfrak{g} ( \mathrm{ad}_{[Z, X]} \mathrm{ad} ) \\ &= \mathrm{Tr}_\mathfrak{g} ( \mathrm{ad}_Z \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y - \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Z \mathrm{ad}_Y). \end{align}$$ Затем можно использовать циклическое свойство следа, чтобы увидеть, что этот член отменяет другой член, подтверждая результат.

Во всяком случае, давайте на самом деле вычислим, что представляет собой эта билинейная форма в нашем базисе.

$$\begin{equation}\newcommand{\ff}[3]{f^{#1 #2}_{\; \; \; \: #3}} \kappa^{ab} \equiv \kappa(T^a, T^b). \end{equation}$$ Обратите внимание, что $$\begin{align} \mathrm{ad}_{T^a} \mathrm{ad}_{T^b} T^c &= [T^a, [T^b, T^c]] \\ &= \ff{b}{c}{d}[T^a,T^d] \\ &= \ff{b}{c}{d} \ff{a}{d}{e} T^e. \end{align}$$ Если мы хотим вычислить трассировку, то мы должны извлечь$T^c$компонента из приведенной выше линейной комбинации$T^e$, а затем просуммировать по всем$c$. Это значит, что $$\begin{equation} \kappa^{ab} = \ff{b}{c}{d} \ff{a}{d}{c}. \end{equation}$$

Используемые здесь индексы показывают, что$\kappa^{ab}$можно рассматривать как своего рода метрику, с помощью которой мы можем повышать и понижать. Например,

$$\begin{equation} f^{abc} \equiv \kappa^{cd}\ff{a}{b}{d}. \end{equation}$$ Одно приятное свойство$f^{abc}$полностью антисимметрична. Мы уже знаем, что $$\begin{equation} \ff{a}{b}{c} = -\ff{b}{a}{c} \end{equation}$$ как раз из-за антисимметрии коммутатора. Антисимметрия под$b \leftrightarrow c$задается присоединенной инвариантностью формы Киллинга, которую мы обсуждали ранее, поэтому $$\begin{equation} 0 = \kappa(T^c, [T^a, T^b]) + \kappa([T^a, T^c], T^b) = f^{abc} + f^{acb} \end{equation}$$ по желанию.

И последнее, что я хочу сказать о форме Киллинга, это то, что вы можете использовать ее для построения квадратичного оператора Казимира алгебры Ли.

$$\begin{equation} C \equiv \kappa_{ab} T^a T^b. \end{equation}$$ (Как и в случае с метрикой,$\kappa_{ab}$определяется как обратная матрица$\kappa^{ab}$.)$C$коммутирует со всеми элементами алгебры Ли (в универсальной обертывающей алгебре), потому что $$\begin{align} [C, T_c] &= \kappa_{ab} T^a [T^b, T_c] + \kappa_{ab} [T^a, T_c] T^b \\ &= \kappa_{ab} f^{b}_{\; \; cd} T^a T^d + \kappa_{ab} f^{a}_{\; \; cd} T^d T^b \\ &= \kappa_{ab} f^{b}_{\; \; cd} T^a T^d + \kappa_{ab} f^{b}_{\; \; cd} T^d T^a \\ &= \kappa_{ab} f^{b}_{\; \; cd} ( T^a T^d + T^d T^a) \\ &= f_{acd} ( T^a T^d + T^d T^a) \\ &= 0. \end{align}$$ В третьей строке переключаем$a \leftrightarrow b$для половины слагаемых и использовал симметрию$\kappa_{ab} = \kappa_{ba}$. Последняя линия следует из полной антисимметрии$f_{abc}$.

(Напомним, что полная антисимметрия$f_{abc}$следовало из того факта, что$\kappa(X,Y)$инвариантен относительно присоединенного действия, AKA$\kappa([Z,X], Y) + \kappa(X, [Z, Y]) = 0$. Следовательно, если мы придумаем любую другую билинейную форму$\kappa'$что аналогично инвариантно, то$\kappa'_{ab} T^a T^b$также будет коммутировать с алгеброй.)

Отношение к метрике

Для векторных полей пространства-времени$u^\mu, v^\mu$, скобка Ли

$$[u, v]^\mu = u^\nu \partial_\nu v^\mu - v^\nu \partial_\nu u^\mu.$$ Оказывается, производная Ли одного векторного поля по другому и есть этот коммутатор. $$\mathcal{L}_u v = [u, v].$$ Если у вас есть набор векторов, которые закрываются под скобкой Ли, $$[K^i, K^j] = f^{ij}_{\;\; k} K^k$$ то из правила произведения производной Ли для любых двух тензоров$A$и$B$ $$\mathcal{L}_u (AB) = (\mathcal{L}_u A) B + A(\mathcal{L}_u B)$$ мы можем ясно видеть, что если мы определим обратную метрику как $$g^{\mu \nu} = \kappa_{ij} (K^i)^{(\mu} (K^j)^{\nu)}$$ то из предыдущего раздела нетрудно показать $$\begin{align} \mathcal{L}_{K^k} g^{\mu \nu} = 0 \end{align}$$ потому что метрика - это просто квадратичный Казимир. (Есть крошечная морщинка, это индексы пространства-времени, но если вы используете симметричную сумму$(\mu \nu)$как и выше, то это компенсируется антисимметрией$f$.) Таким образом, мы явно построили метрику, для которой все$K^i$Векторы убийства.

Отношение к метрике OP

Давайте сделаем явный пример.

$$\begin{array}{l} K^1=\partial_{\phi} \\ K^2=\cos \phi\,\partial_{\theta}-\cot \theta \sin \phi\,\partial_{\phi} \\ K^3=-\sin \phi\,\partial_{\theta}-\cot \theta \cos \phi\,\partial_{\phi}. \end{array}$$ Они удовлетворяют коммутационным соотношениям $$\begin{align} [K^i, K^j] = \epsilon^{ijk} K^k. \end{align}$$ где мы на мгновение опустим различие между повышенными и пониженными индексами. Поэтому $$\begin{align} \kappa^{ab} &= \epsilon^{bcd} \epsilon^{adc} \\ \kappa^{11} &= \epsilon^{1 cd} \epsilon^{1 dc} \\ &= \epsilon^{1 2 3} \epsilon^{1 3 2} + \epsilon^{1 3 2} \epsilon^{1 2 3} \\ &= -1 -1 \\ &= -2 \\ \kappa^{12} &= \epsilon^{2 cd} \epsilon^{1 dc} \\ &= 0 \end{align}$$ Мы видим, что$\kappa^{ij} = - 2 \delta^{ij}$, что является просто постоянной метрикой OP.

Убийственная форма (вторая версия)

Если ваши элементы алгебры Ли$X \in \mathfrak{g}$могут быть реализованы в виде матриц, то мы можем также определить другую форму Киллинга

$$B(X, Y) = \mathrm{Tr}(XY).$$ Эта форма Киллинга больше подходит для работы с алгебрами Ли с коммутирующими элементами.

Это также инвариантно относительно присоединенного действия алгебры Ли), т. е. для любого$Z \in \mathfrak{g}$,

$$\delta X = [Z, X] , \hspace{1cm} \delta Y = [Z, Y]$$

затем

$$\begin{align} \delta B(X, Y) &= B(\delta X, Y) + B(X, \delta Y) \\ &= \mathrm{Tr}(\delta X Y) + \mathrm{Tr}(X \delta Y) \\ &= \mathrm{Tr}([Z, X] Y + X[Z,Y] ) \\ &= \mathrm{Tr}( Z X Y - X Z Y + X Z Y - X Y Z) \\ &= 0 \end{align}$$ где последняя строка следует из цикличности трассы.