Векторы убийства - метрика Шварцшильда

Question

Векторы убийства - метрика Шварцшильда

Стиг

Учитывая метрику Шварцшильда,

г с^{2} "=" - (1 - \frac{р_{с}}{р}) г т^{2} + {(1 - \frac{р_{с}}{р})}^{- 1} г р^{2} + р^{2} г θ^{2} + р^{2} {грех}^{2} θ г ф^{2},

$\mathrm{d}s^{2}=-\left(1-\frac{R_s}{r}\right)\mathrm{d}t^{2}+\left(1-\frac{R_s}{r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^{2}+r^{2}\mathrm{d}\theta^{2}+ r^2 \sin^{2}\theta\mathrm{d}\phi^{2},$ Меня просят показать это

К^{мю} "=" (1, 0, 0, 0), р^{мю} "=" (0, 0, 0, 1)

$K^{\mu}=\left(1,0,0,0\right),\; R^{\mu}=(0,0,0,1)$ являются векторами Киллинга, т.е. удовлетворяют уравнению Киллинга

\nabla_{мю} ξ_{ν} + \nabla_{ν} ξ_{мю} "=" 0.

$\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu=0.$

В первую очередь с помощью метрики опускаю индексы:

К_{мю} "=" (- (1 - \frac{р_{с}}{р}), 0, 0, 0), р_{мю} "=" (0, 0, 0, р^{2} {грех}^{2} θ) .

$K_\mu=\left(-\left(1-\frac{R_s}{r}\right),0,0,0\right),\; R_\mu=\left(0,0,0,r^2\sin^2\theta\right).$ Тогда для

R_{μ}

$R_\mu$ я пытался вычислить

\nabla_{мю} р_{ν} \equiv \partial_{мю} р_{ν} - Г_{мю ν}^{λ} р_{λ} "=" \partial_{мю} р_{ν} - Г_{мю ν}^{ф} р_{ф};

$\nabla_\mu R_\nu\equiv\partial_\mu R_\nu - \Gamma^\lambda_{\mu\nu} R_\lambda=\partial_\mu R_\nu - \Gamma^\phi_{\mu\nu} R_\phi;$ так

\nabla_{р} р_{ф} "=" р {грех}^{2} θ, \nabla_{θ} р_{ф} "=" р^{2} грех θ потому что θ .

$\nabla_r R_\phi=r\sin^2\theta, \; \nabla_\theta R_\phi=r^2\sin\theta\cos\theta.$ Но теперь мне непонятно, что мне делать дальше.

Папа Кропоткин

Что случилось с символами Кристоффеля? Я думаю, что вам не хватает некоторых терминов в ваших выражениях для ковариантных производных.

Стиг

@Н. Steinle, у меня есть неявная сумма более

λ = t, r, θ, ϕ

$\lambda=t,r,\theta,\phi$ . Затем я понимаю, что единственный неисчезающий символ Кристоффеля — это тот,

λ = ϕ

$\lambda=\phi$ .

Ответы (2)

Векторы убийства - метрика Шварцшильда

Что случилось с символами Кристоффеля? Я думаю, что вам не хватает некоторых терминов в ваших выражениях для ковариантных производных.
@Н. Steinle, у меня есть неявная сумма более $\lambda=t,r,\theta,\phi$ . Затем я понимаю, что единственный неисчезающий символ Кристоффеля — это тот, $\lambda=\phi$ .

Винченцо Вентрилья · Answer 1

Ваше уравнение для $R_\mu$ читает

\nabla_{мю} р_{ν} + \nabla_{ν} р_{мю} "=" (\partial_{мю} р_{ν} - Г_{мю ν}^{λ} р_{λ}) + (\partial_{ν} р_{мю} - Г_{ν мю}^{о} р_{о}) "=" \partial_{мю} р_{ν} + \partial_{ν} р_{мю} - 2 Г_{мю ν}^{ф} р_{ф} .

$\nabla_\mu R_\nu + \nabla_\nu R_\mu =\left(\partial_\mu R_\nu -\Gamma^\lambda_{\mu\nu} R_\lambda\right) + \left(\partial_\nu R_\mu - \Gamma^\sigma_{\nu\mu}R_\sigma\right)=\partial_\mu R_\nu + \partial_\nu R_\mu -2\Gamma^\phi_{\mu\nu} R_\phi.$ Если вы используете

μ = r

$\mu=r$ и

μ = θ

$\mu=\theta$ (единственные неисчезающие члены), вы обнаружите, что уравнение Киллинга для

R_{μ}

$R_\mu$ это удовлетворено.

Элио Фабри · Answer 2

$\def\bg{{\mathbf g}}$ Это зависит от того, как был определен вектор Киллинга. Если определение было «векторное поле, подчиняющееся уравнению Киллинга», то вам остается только продолжить вычисления, и я ничего не могу добавить. Но есть альтернативное определение, которое я предпочитаю:

Поле Киллинга — это поле, поток которого является изометрией для всех значений параметра.

Для этого нужно знать, что такое поток векторного поля и что означает «изометрия» в римановом многообразии. Я кратко резюмирую.

Поток векторного поля $X$ представляет собой просто ансамбль его интегральных кривых, каждая из которых параметризована вещественной переменной, которую я назову $u$ . Для каждого значения $u$ поток $X$ определяет отображение $\mu$ многообразия в себя.

Изометрия риманова многообразия — это (дифференцируемое) отображение, оставляющее инвариантным метрический тензор: $\mu^*\bg = \bg$ .

Тогда можно показать, что $X$ поле убийства для метрики $\bg$ тогда и только тогда, когда он удовлетворяет уравнению Киллинга (где ковариантная производная определяется связью Леви-Чивиты $\bg$ ).

В вашей проблеме поток $K$ очевидно, отображение

{мю}_{ты} : (т, р, θ, ф) \mapsto (т + ты, р, θ, ф)

$\mu_u: (t,r,\theta,\phi) \mapsto (t+u,r,\theta,\phi)$ т.е. перевод времени

u

$u$ . С

g

$\bg$ (т.е.

d s^{2}

$ds^2$ ) не зависит от

t

$t$ ,

μ_{u}

$\mu_u$ это изометрия для всех

u

$u$ .

Аналогично, поток $R$ является

ν_{ты} : (т, р, θ, ф) \mapsto (т, р, θ, ф + ты)

$\nu_u: (t,r,\theta,\phi) \mapsto (t,r,\theta,\phi+u)$ т.е. поворот на угол

u

$u$ . И

g

$\bg$ даже не зависит от

ϕ

$\phi$ , так

ν_{u}

$\nu_u$ также является изометрией.

Векторы убийства - метрика Шварцшильда

Стиг

Папа Кропоткин

Стиг

Ответы (2)

Винченцо Вентрилья

Элио Фабри

Убивающий тензор метрики Фридмана-Робертсона-Уокера

Вычисление метрического тензора из его векторов Киллинга?

Нахождение дивергенции в сферических координатах с помощью метрического тензора

Как найти нулевую геодезическую?

Два наблюдателя Робертсона-Уокера, в какое время будет получен световой сигнал?

Как показать, что каждое векторное поле Киллинга является коллинеацией материи?

Как представить эту метрику в матричной форме? [закрыто]

Ускорение частицы, «удерживаемой на месте» при x=1x=1x = 1 [закрыто]

Is (−∂2∂t2+∇2)ϕ=0(−∂2∂t2+∇2)ϕ=0\left(-\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2\ справа)\фи=0 то же, что и ∂μ(gμν−g−−−√∂νϕ)=0∂μ(gμν−g∂νϕ)=0\partial_\mu\left(g^{\mu\nu}\ sqrt{-g} \partial_\nu\phi\right)=0?

Вопрос от Шутца