Убийственные векторы в метрике Шварцшильда

Если все компоненты метрики независимы от какого-либо конкретного$x^\nu$, то у вас есть вектор убийства$\vec{K}$с компонентами$K^\mu = \delta^\mu_\nu$. То есть контравариантная форма просто имеет константу в соответствующем слоте и нули в другом месте. В Шварцшильде у вас есть$K^\mu = (1, 0, 0, 0)$и$R^\mu = (0, 0, 0, 1)$($\vec{K}$и$\vec{R}$быть твоим$K_1$и$K_2$, соответственно).

Чтобы найти ковариантные формы, просто опустите метрику. В Шварцшильде у нас есть

$$\begin{align} K_\mu & = g_{\mu\nu} K^\nu = g_{\mu t} = \big({-}(1-2M/r), 0, 0, 0\big) \\ R_\mu & = g_{\mu\nu} R^\nu = g_{\mu\phi} = \big(0, 0, 0, r^2 \sin^2\!\theta\big). \end{align}$$ Вот тут-то и пригодятся недиагональные термины. Например, у Бойера-Линдквиста мы также не имеем $t$-зависимость, поэтому имеем $K^\mu = (1, 0, 0, 0)$и $$K_\mu = g_{\mu t} = \big({-}(1-2Mr/\Sigma), 0, 0, -(2Mar/\Sigma)\sin^2\!\theta\big),$$ где четвертая компонента в точности $g_{t\phi}$.

Концептуально:

Если мы на время оставим математическое определение в стороне, мы можем определить вектор убийства:

Вектор убийства$K^\mu(x)$ оставляет метрику неизменной при бесконечно малых изменениях координат

Координата времени

Изменение в$t$ничего не делает с метрикой:

Изменение в$t\rightarrow t+dt$:

$g_{\mu \nu}=g_{\mu \nu}(t)=g_{\mu \nu}(t+dt)=g_{\mu \nu}$

Так что один из векторов убийства должен быть рядом$t$:

$K^\mu=(1,0,0,0)$

Вот и все!

Примечание. У формы, которую вы имеете, индекс понижен:$K_\mu=g_{\mu \nu}K^\nu=(g_{\mu0}K^0,0,0,0)=(-(1-2M/r),0,0,0)$