Белый шум характеризуется автокорреляционной функцией

$$\langle \eta(t) \eta(t') \rangle = D \delta(t-t'),$$ (здесь я предполагаю, что $\eta$безразмерный, поэтому $[D] = [t]$). Это означает, что (1) шум не должен коррелировать сам с собой в разное время, но также и (2) дисперсия $\eta(t)$должен быть бесконечным . Условие (2) является существенным недостающим компонентом здесь.

Прежде чем показать, как включить (2) в дискретную модель шума, давайте сначала объясним, почему нам нужно$\eta(t)$иметь бесконечную дисперсию. Это необходимо для того, чтобы интегральный сигнал, определяемый

$$W(\tau) = \int_0^\tau{\rm d}t\;\eta(t),$$ быть ненулевым. Действительно, у нас есть это $$\langle W(\tau)^2\rangle = \int_0^\tau{\rm d}t\int_0^\tau{\rm d}t'\;\langle \eta(t) \eta(t') \rangle = D\tau,$$ т.е. дисперсия интегрированного сигнала растет линейно со временем с «постоянной диффузии» $D$, точно так же, как непрерывное случайное блуждание , где положение пешехода как функция времени определяется выражением $W(\tau)$. Это не случайно: случайная величина $W(\tau)$описывает винеровский процесс , который лежит в основе определения белого шума. В частности, если ${\rm d}W(t) = W(t+{\rm d}t)-W(t)$, то переменная $\eta(t)$фактически определяется как $${\rm d}W(t) = \eta(t){\rm d}t.$$

Отметим, что если дисперсия$\eta(t)$были конечны,$W(\tau)$исчезло бы одинаково. Предположим, что вместо$\langle \eta(t) \eta(t') \rangle = f(t-t')$, куда$f(0)$конечен и$f(t) = 0$за$t\neq 0$. Отсюда следует, что$\langle W(\tau)^2\rangle = \langle W(\tau)\rangle = 0$. Это означает, что интегральный сигнал$W(\tau)=0$с вероятностью один. Другими словами, конечные мгновенные колебания$\eta(t)$в сочетании с нулевым временем корреляции приводит к тому, что интегрированный эффект шумового сигнала сводится к нулю в течение любого конечного времени.

Чтобы определить шумовой сигнал как континуальный предел дискретного процесса, мы начинаем с дискретного (несмещенного) случайного блуждания. В каждом приращении времени$\delta t = t_{i+1} - t_i$ходячий смещается на величину$\delta W_i = \eta_i \delta t$(ср.${\rm d}W(t) = \eta(t){\rm d}t$), куда$\langle \delta W_i\rangle = 0$. Делая каждый размер шага пропорциональным$\delta t$гарантирует, что размер шага стремится к нулю в континуальном пределе$\delta t\to 0$, чтобы$W(t)$описывает непрерывную (нигде не дифференцируемую) функцию. Более того, каждый из этих шагов должен быть статистически независимым, чтобы восстановить нулевое время корреляции (белый шум) в континуальном пределе. Мы также предполагаем, что набор шагов$\delta W_i$одинаково распределены. Теперь дисперсия положения ходока после$N$шагов, соответствующих времени$\tau = N \delta t$, дан кем-то

$$\begin{align} \langle W(\tau)^2\rangle & = \left \langle \left ( \sum_{i=1}^N \delta W_i \right)^2 \right\rangle\\ & = (\delta t)^2 \left(\sum_{i=1}^N \langle \eta_i^2 \rangle + \sum_{i\neq j} \langle \eta_i\eta_j\rangle\right) \\ & = (\delta t)^2 \sum_{i=1}^N \langle \eta_i^2 \rangle, \end{align}$$ где третье равенство следует из статистической независимости шагов: $\langle \eta_i\eta_j\rangle = 0$за $i\neq j$.

Теперь, чтобы восстановить правильное масштабирование$\langle W(\tau)^2\rangle = D \tau$, мы должны иметь

$$\langle \eta_i^2 \rangle = D/\delta t.$$ Дисперсия дискретизированной переменной белого шума $\eta_i$поэтому стремится к бесконечности в континуальном пределе, что и требовалось. Поскольку мы также требуем, чтобы статистика шума была гауссовой с нулевым средним (т. е. единственным ненулевым кумулянтом является дисперсия), отсюда следует, что уникальная функция распределения вероятностей имеет вид $$P(\eta_i) \propto \exp \left ( -\frac{\eta_i^2 \delta t }{2D} \right),$$ вплоть до неопределенной константы нормализации. Правильный результат для статистической суммы следует после записи интеграла по путям и перехода к континуальному пределу. $\delta t\sum_i \to \int\mathrm{d} t$.