Что означает «усреднение по шуму» в книге Цванцига

У меня есть книга, но не передо мной, так что я догадываюсь по форме уравнений. Броуновская частица может быть представлена ​​стохастическим дифференциальным уравнением

$$m\dot{v} = -\xi v +\varepsilon$$ где последний член является стохастическим членом, который, как предполагается, ведет себя как $\langle\varepsilon\rangle = 0$, $\langle\varepsilon(t)\varepsilon(t')\rangle = \Gamma\delta(t-t')$. Затем, просто взяв математическое ожидание обеих частей уравнения, мы получим обычный DE: $m\frac{d}{dt}\langle v\rangle = -\xi \langle v \rangle$, решение которого как раз то, что вы написали в своем вопросе.

С физической точки зрения это означало бы, что при заданной начальной скорости и случайном (вероятно, тепловом) процессе, толкающем броуновскую частицу, можно было бы ожидать, что скорость угаснет, как описано. Теперь, если вы повторите эксперимент тысячу раз, иногда он затухает быстрее, иногда медленнее, в среднем, соответствующем решению. Теперь в реальном эксперименте у вас, вероятно, также будет распределение вероятностей по начальной скорости частицы, поэтому, чтобы действительно согласовать ваши данные с теорией, вам также нужно будет принять это во внимание (здесь простой интеграл над решением, умноженным на распределение начальных скоростей).

Расширяя другие ответы, чтобы увидеть, как «средние значения шума» используются в других местах книги, мы можем думать о «среднем значении шума» динамической переменной.${\bf A}({\bf x},t)$как

$\langle {\bf A}({\bf x},t) \rangle_{noise} = \int_\Omega {\bf A}({\bf x},t) \rho({\pmb \epsilon}) d{\pmb \epsilon}$

где${\pmb \epsilon}$представляет собой случайный шум, распределенный как$\rho({\pmb \epsilon})$над$\Omega \in \mathbb{C}^n$. Из СДЭ,$m \dot{{\pmb v}} = -\xi {\pmb v}(t) + {\pmb \epsilon}(t)$, мы получаем,

$\langle m \dot{{\pmb v}} \rangle_{noise} = -\langle \xi {\pmb v}(t)\rangle_{noise} + \langle {\pmb \epsilon}(t) \rangle_{noise}$.

Если$\langle {\pmb \epsilon}(t) \rangle_{noise} = 0$, получаем выражение$\langle {\pmb v(t) }\rangle_{noise} = {\pmb v}(0) \exp{(-\xi t/m )}$.

Теперь в реальном эксперименте у вас, вероятно, также будет распределение вероятностей по начальной скорости частицы, поэтому, чтобы действительно согласовать ваши данные с теорией, вам также нужно будет принять это во внимание.

Чтобы получить эту полную картину, «усредненное по шуму» распределение скоростей (или состояние${\bf x}$, удовлетворяющее уравнению Ланжевена,${\bf \dot{x}} = {\pmb a}({\pmb x}) + {\pmb \epsilon}(t)$) получено в главе 2 книги. Распределение состояний,$f({\pmb x},t)$удовлетворяет,

$\begin{align*} \dot{f}({\pmb x},t) &= -\frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb a}({\pmb x}) f({\pmb x},t) - \frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb \epsilon}({t}) f({\pmb x},0) + \\ &\frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb \epsilon}({t}) \int_0^t ds \exp{\Bigg(-(t-s)\frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb a}({\pmb x})\Bigg)} \frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb \epsilon}({s}) f({\pmb x},s) \end{align*}$

Мы можем использовать приведенное выше определение, чтобы взять «среднее значение шума» этого уравнения. Мы получаем,

$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial t}\langle {f}({\pmb x},t) \rangle_{noise} &= -\frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb a}({\pmb x}) \langle f({\pmb x},t) \rangle_{noise} - \frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot \underbrace{\langle {\pmb \epsilon}({t}) \rangle_{noise} }_{= 0} f({\pmb x},0) + \\ &\frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot \int_0^t ds \exp{\Bigg(-(t-s)\frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot {\pmb a}({\pmb x})\Bigg)} \frac{\partial}{\partial {\pmb x}} \cdot \langle {{\pmb \epsilon}({t})\pmb \epsilon}({s}) f({\pmb x},s) \rangle_{noise} \end{align*}$

Чтобы получить среднее значение шума последнего члена приведенного выше уравнения, используется свойство дельта-корреляции шума,$\langle {\pmb \epsilon}(t) {\pmb \epsilon}(t') \rangle_{noise} = {\pmb \Gamma }{\delta}(t-t')$. В частности,

$\begin{align} \langle {{\pmb \epsilon}({t}) \pmb \epsilon}({s}) f({\pmb x},s) \rangle_{noise} = {\pmb \Gamma} \delta(t-s) \langle f({\pmb x},s) \rangle_{noise} \end{align}$

Приведенное выше уравнение исходит из тождества гауссовских случайных величин:$\begin{align} \langle {\pmb \epsilon}(t_1) G({\pmb \epsilon}(t_2)) \rangle_{noise} = {\pmb \Gamma} \delta(t_1-t_2) \langle \frac{\partial}{\partial {\pmb \epsilon}(t_2)} G \rangle_{noise} \end{align}$и когда мы признаем тот факт, что$f({\pmb x},s)$зависит от${\pmb \epsilon}({s'})$только для$s' < s$. Отсюда мы непосредственно приходим к уравнению Фоккера Планка, приведенному в 2.42 книги.

в равной степени можно было бы использовать решение уравнения Ланжевена:

$$m\dot{v} = -\zeta v +\delta F(t)$$ ведьма это: $$v(t)=v(0)e^{-\zeta t \over m }+ \int \limits_0^t dt'e^{-\zeta (t-t') \over m } \delta F(t)$$ выполнение среднего по ансамблю дает:

$$v(t)=\overbrace{\langle 1 \rangle}^{=1} v(0)e^{-\zeta t \over m }+ \int \limits_0^t dt'e^{-\zeta (t-t') \over m } \overbrace{\langle \delta F(t) \rangle}^{=0}$$ по определению термина шума как $\langle \delta F(t) \rangle=0$и $\langle \delta F(t) \delta F(t')\rangle= \delta(t-t')$давая нам:

$$\left<v\left(t\right)\right>_\text{noise}=e^{-\frac{\xi t}{m}}v\left(0\right).$$

Было бы интересно узнать, почему это называется средним шумом. Я думаю, что это просто относится к тому факту, что в этом среднем по ансамблю случайная величина, на которую мы смотрим, является шумом, делая среднее значение, которое мы берем за допустимое среднее по шуму, таким образом, среднее значение шума...