Строгое общее математическое определение сопротивления

Сопротивление жидкости, действующей на объект внутри, представляет собой поток импульса через границу объекта. Закон сохранения импульса составляет все содержание уравнения Навье-Стокса, которое можно записать в интегральной форме:

$${\partial\over \partial t} \int_R \rho v^i = - \int_{\partial R} \rho v^i v\cdot \hat{n} + \int_{\partial R} (P \hat{n} + \nu(\rho) \nabla v^i )\cdot \hat{n}$$

Где$\hat{n}$является нормалью к границе$R$,$P$это давление,$\nu$вязкость (как функция плотности$\rho$), v — скорость. В левой части говорится, что вы смотрите на поток полной i-компоненты импульса из области R. Первый член справа — это физическое количество импульса, вытекающего из границы R потоком жидкости. Последний член представляет собой поток импульса через границу R из-за сил на краю.

Используя теорему о дивергенции, вы узнаете, что

$$\int_R {\partial\over\partial t} (\rho v^i) + \partial_j(\rho v^i v^j) - \partial_i P - \nabla\cdot(\nu \nabla v^i ) d^dx = 0$$

И вы заключаете, что уравнения NS выполняются.

$${\partial\over\partial t} (\rho v^i) + \partial_j(\rho v^i v^j) - \partial_i P -\nabla \cdot (\nu \nabla v^i)$$

Если вы расширите это и воспользуетесь уравнением неразрывности, вы восстановите более стандартные формы, но это та форма, в которой оно является наиболее прозрачным уравнением неразрывности для потока количества движения.

Итак, вы видите, что поток i-й компоненты импульса в любую область R из-за жидкости, которая является i-й компонентой силы, действующей со стороны жидкости на все, что находится внутри R, задается граничным интегралом

$$F^i_R = - \int_{\partial R} \rho v^i v\cdot \hat{n} + \int_{\partial R} (P\hat{n} + \nu \nabla v^i) \cdot \hat{n}$$

Для случая, когда у вас есть твердый объект, через который жидкость не может проникнуть, скорость перпендикулярна поверхности объекта, а первый член равен нулю (очевидно - первый член описывает импульс, переносимый вместе с жидкостью, а это не вход R).

Таким образом, сопротивление представляет собой интеграл двух составляющих по поверхности: давления на объект, который говорит вам, насколько сильно объект давит, чтобы заставить воду двигаться вокруг, и градиента скорости, который описывает, как вязкость притягивает тело. объект. Для движущегося объекта это работает в один момент, чтобы сообщить вам, какой импульс входит или выходит из объекта, что является мгновенной силой сопротивления.

Сначала рассмотрим ламинарный поток , а затем рассмотрим пограничный слой жидкости вблизи твердых тел. В простых случаях вы используете несжимаемую модель Навье-Стокса, чтобы найти баланс сил, который даст вашу силу сопротивления. Обычно это делается с помощью программного обеспечения CFD (Computational Fluid Dynamics).

Я сомневаюсь, что вы сможете решить свою проблему вручную, поскольку это возможно только в самых простых случаях, когда линии потока параллельны геометрии и возможна интеграция.