Суб- и супермультипликативность норм понимания нелокальности

Question

Суб- и супермультипликативность норм понимания нелокальности

граф

В связи с различными проблемами понимания запутанности и нелокальности я столкнулся со следующей математической проблемой. Наиболее лаконично изложить ее в наиболее математической форме и не слишком углубляться в фон. Тем не менее, я надеюсь, что люди, интересующиеся теорией запутанности, смогут увидеть, насколько эта проблема интересна/полезна.

Вот оно. У меня есть два векторных пространства конечной размерности $A$ и $B$ и каждое снабжено нормой (банаховыми пространствами) такой, что $||...||: A \rightarrow \mathbb{R}$ и $||...||: B \rightarrow \mathbb{R}$ . И векторные пространства, и нормы изоморфны друг другу. Мой вопрос касается норм тензорного произведения этих пространств (для простоты скажем только алгебраического тензорного произведения) $A \otimes B$ и двойные нормы. Сначала позвольте мне сказать то, что я знаю, что это правда.

Лем 1:
Если норма $||...||$ на $A \otimes B$ удовлетворяет:
$||a \otimes b || \leq ||a|| . ||b||$ (субмультипликативность)
, то двойственная норма удовлетворяет
$||a \otimes b ||_{D} \geq ||a||_{D} . ||b||_{D}$ (сверхмультипликативность)

где мы определяем двойственность нормы обычным образом как
$|| a ||_{D}= \mathrm{sup} \{ |b^{\dagger}a| ; ||b|| \leq 1 \}$

Эта лемма часто возникает, например, в матричном анализе Хорна и Джонсона, где она используется для доказательства теоремы двойственности (что в конечных измерениях бидуальное число равно исходной норме). $||..||_{DD}=||...|$ ).

Я хочу знать статус обратного, на который, как я предполагаю, будет дан положительный ответ:

Гипотеза:
если норма $||...||$ на $A \otimes B$ удовлетворяет:
$||a \otimes b || \geq ||a|| . ||b||$ (сверхмультипликативность)
, то двойственная норма удовлетворяет
$||a \otimes b ||_{D} \leq ||a||_{D} . ||b||_{D}$ (субмультипликативность)

Мой вопрос просто: «Моя гипотеза верна или у кого-нибудь есть контрпример?».

Хотя я склонен думать, что эта гипотеза верна, ее, безусловно, не так легко доказать, как первую изложенную лемму (которая представляет собой доказательство в 3–4 строки). Асимметрия входит в определение двойственной нормы, что позволяет «угадать» сепарабельный ответ ценой занижения величины нормы, но не так легко ее переоценить!

Ответы (1)

Суб- и супермультипликативность норм понимания нелокальности

Любош Мотл · Answer 1

Любош Мотл

Обратное, очевидно, неверно. Асимметрия между супермультипликативностью и субмультипликативностью возникает из-за того, что двойственная норма всегда определяется как супремум и никогда как инфимум.

Чтобы увидеть контрпример, выберите направление в $A\otimes B$ , например направление векторов, которые имеют вид $a\otimes b$ , а в очень малой «лучевой» окрестности этого направления определим норму в пространстве тензорного произведения как

| | в | | "=" 1000 | | а | | \cdot | | б | |

$||v|| = 1000 ||a||\cdot ||b||$ Очевидно, что супермультипликативность сохранится, потому что мы увеличили норму где-то в пространстве тензорного произведения, оставив ее неизменной на остальной части.

Однако благодаря этому крошечному изменению двойная норма взлетает до небес, потому что это супремум над всеми остальными. $c$ с $||c|| \leq 1$ которая включает в себя $c\approx a\otimes b$ где норма была усилена. Соответственно, двойственная норма для некоторых двойственных векторов была существенно увеличена до 1000 раз по сравнению с тем, что было раньше, и больше не является субмультипликативной.

Предупреждение: приведенный выше аргумент неверен. я неправильно истолковал $|b^\dagger a|$ как что-то, что зависит от исходной нормы, но не зависит от нее. Обратная импликация, вероятно, верна по крайней мере для некоторых «выпуклых» норм, для которых переключение между нормой и двойственной нормой полностью обратимо. Пожалуйста, опубликуйте более полные ответы, если вы можете их построить.

Хорошо, я думаю, что основной аргумент все еще может быть легко исправлен. Возьмите естественную норму и переопределите

| | в | | "=" 0,001 | | а | | \cdot | | б | |

$||v|| = 0.001 ||a||\cdot ||b||$ только для некоторых

v

$v$ быть в форме

C \cdot M (a \otimes b)

$C\cdot M(a\otimes b)$ где

a, b

$a,b$ некоторые общие векторы,

M

$M$ это преобразование, близкое к тождественному, которое нельзя разложить на тензорные произведения преобразований двух пространств, и

C \in R

$C\in{\mathbb R}$ . Это уменьшение нормы не портит супермультипликативность, потому что это условие ограничивает только тензорные произведения, а это не так. Однако в двойном пространстве

(a \otimes b)_{D}

$(a\otimes b)_D$ вычисленный по какой-либо двойственной форме, не будет субмультипликативным, потому что на него влияют даже «близкие» векторы в исходном пространстве, и мы позволили некоторым очень длинным векторам (согласно исходной норме) влиять на супремум.

Так что это не будет работать для достаточно необычных норм. Какой-то выпуклости, гарантирующей, что процедура дуализации будет квадратичной к единице, может быть достаточно, чтобы гарантировать правильность вашего обратного утверждения.

граф

Спасибо за Ваш ответ. Хотя я не уверен, что понимаю, почему вы говорите, что это приводит к стремительному росту двойственной нормы, я бы подумал, что это приводит к уменьшению нормы некоторых двойственных векторов в 1000 раз. Если мы установим

| | a | | = | | b | | = 1

$||a||=||b||=1$ затем

| | a \otimes b | | = 1000

$||a \otimes b ||=1000$ не меньше 1 и поэтому не попадает в единичный шар, по которому оценивается высший. Проще говоря, если мы эквивалентно сформулируем двойственную норму как надстройку над

| u^{†} v | / | | v | |

$|u^{\dagger}v| / ||v||$ то это выглядит как произвольное увеличение

| | v | |

$||v||$ только собирается уменьшить двойную норму.

граф

Чтобы расширить вышесказанное. Предположим, что базовыми нормами являются 2-нормы и что на

A \otimes B

$A \otimes B$ у нас есть норма ст

| | v | | \geq | | v | |_{2}

$||v|| \geq ||v||_{2}$ . Когда

v = a \otimes b

$v=a \otimes b$ , и используя

| | a \otimes b | |_{2} = | | a | |_{2} | | b | |_{2}

$||a \otimes b ||_{2}=||a||_{2}||b||_2$ , следует супераддитивность. Из этой субаддитивности следует, что

| | v | |_{D} = sup_{v} {| u^{†} v | / | | u | |} \leq sup_{v} {| u^{†} v | / | | u | |_{2}} = | | v | |_{2}

$||v||_{D}= \sup_{v} \{ |u^{\dagger}v| / ||u|| \} \leq \sup_{v} \{ |u^{\dagger}v| / ||u||_{2} \} = ||v||_{2}$ . От этого сдачи

v = a \otimes b

$v=a \otimes b$ и кратности 2-нормы получаем субаддитивность.

граф

Если мы сделаем ваш пример более явным. Например, мы говорим, если

u = \sum_{j, k} c_{j, k} a_{j} \otimes b_{j}

$u=\sum_{j,k}c_{j,k} a_{j}\otimes b_{j}$ представляет собой разложение по определенному базису, а затем определить

| | u | | = \sqrt{\sum_{j, k} d_{j, k} c_{j, k}^{2}}

$||u||= \sqrt{ \sum_{j,k} d_{j,k} c_{j,k}^{2} }$ где

d_{j, k} = 1000

$d_{j,k}=1000$ когда

j = k = 1

$j=k=1$ и

d_{j, k} = 1

$d_{j,k}=1$ в противном случае следует, что

| | u | | \geq | | u | |_{2}

$||u|| \geq ||u||_{2}$ и, таким образом, двойственность действительно должна быть субмультипликативной!

Любош Мотл

В моем рассуждении может быть ошибка, спасибо, что указали на нее. Посмотрю еще раз.

Любош Мотл

Уважаемый @Earl, я думаю, что исправил ошибку в своем аргументе, и вывод не изменился. Уменьшите исходную норму до 1/1000 от нее в луче векторов, которые «почти» тензорно-факторизуемы. Это не портит супермультипликативность, потому что ограничиваются только строго тензорные произведения. Однако это изменение повлияет на двойственную норму, даже на двойственную норму факторизуемых векторов, и она подскочит примерно в 1000 раз, нарушив субмультипликативность. Согласованный? Некоторой выпуклости или треугольного неравенства для нормы может быть достаточно, чтобы запретить переменные нормы моего типа и возродить вашу теорему.

граф

Ах я вижу. Я думаю, что вы исправление работает сейчас. Позвольте мне рассмотреть еще более конкретный пример. Учитывать

u

$u$ на интервале

u_{λ} = λ a_{0} \otimes b_{0} + (1 - λ) a_{1} \otimes b_{1}

$u_{\lambda}=\lambda a_{0}\otimes b_{0}+(1-\lambda)a_{1}\otimes b_{1}$ , и определим такую норму, что

| | u | | = (2 λ - 1)^{2} + ϵ

$||u||= (2 \lambda-1)^{2} + \epsilon$ где

ϵ

$\epsilon$ мало, но отлично от нуля (например, 1/1000).

| | u | |

$||u||$ супермультипликативна на тензорных произведениях и выпукла. Затем

| | a_{0} \otimes b_{0} | |_{D} \geq | u_{λ = 1 / 2} v^{†} | / | | u_{λ = 1 / 2} | | = 1 / (2 ϵ)

$|| a_{0}\otimes b_{0} ||_{D} \geq |u_{\lambda=1/2}v^{\dagger}|/||u_{\lambda=1/2}|| = 1/(2 \epsilon)$ которое можно сделать сколь угодно большим.

граф

Наконец, еще один комментарий. Я думаю, что условия, при которых верно обратное, - это как раз когда существует перекрестная норма.

η (u)

$\eta(u)$ (например, наименьшая кросс-норма), такая, что

| | u | | \geq η (u)

$||u|| \geq \eta (u)$ . Затем можно следовать аргументу, который я использовал в нескольких комментариях для более конкретного случая 2-нормы. Однако ваши контрпримеры настолько глубоко выпуклы, что достигают меньших значений, чем любая перекрестная норма.

Любош Мотл

Уважаемый @Earl, я думал, что мои патологические контрпримеры (их набор векторов с нормой меньше 1) не могут быть выпуклыми, вместо того, чтобы быть глубоко выпуклыми! ;-)

Суб- и супермультипликативность норм понимания нелокальности

граф

Ответы (1)

Любош Мотл

граф

граф

граф

Любош Мотл

Любош Мотл

граф

граф

Любош Мотл

Почему неконтекстные онтологические теории не могут иметь более сильные корреляции, чем коммутативные теории?

Нарушение CHSH и запутанность квантовых состояний

Являются ли состояния резонирующей валентной связи (RVB) дальнодействующими запутанными?

Локальные ЭПР-эксперименты с фотонами в вакууме?

Оптимальность стратегии CHSH

Строгое доказательство квантования Бора-Зоммерфельда

Почему квантовая механика не разрушает локальность в запутанности, а теории скрытых переменных могут?

Базис Шмидта: Запутанность

Отрицательные вероятности в квантовой физике

Должно ли состояние быть запутанным, чтобы оно могло производить нелокальные корреляции?