Строгое доказательство квантования Бора-Зоммерфельда

Да, его можно уточнить, и он соответствует ведущему порядку квазиклассического разложения (ВКБ-приближение) по$\hbar$. См. «Лекции по квантовой механике для студентов-математиков» Фаддеева-Якубовского (§20, формула (13)). Подход, вдохновленный геометрическим квантованием, объясняется в главе 4 в « Лекциях Бейтса-Вайнштейна по геометрии квантования» .

Этот ответ касается геометрического происхождения условия Бора-Зоммерфельда. В геометрическом квантовании дополнительная структура, необходимая помимо симплектических данных фазового пространства, представляет собой поляризацию. Пространства квантования строятся как пространства поляризованных сечений относительно поляризации. Наиболее «очевидным» типом поляризации является поляризация Кэлера, где пространствами квантования являются пространства голоморфных сечений предквантового линейного расслоения. Простыми примерами систем, которые можно квантовать с помощью поляризации Кэлера, являются гармонический осциллятор и спин. Другим типом поляризации является реальная поляризация (см., например , лекции Блау).), что локально эквивалентно поляризации кокасательного расслоения. Вещественная поляризация разбивает фазовое пространство (симплектическое многообразие) на лагранжевы подмногообразия. Когда слои компактны, квантовое гильбертово пространство состоит из сечений с носителем только на определенных слоях, которые как раз и удовлетворяют условию Бора-Зоммерфельда. В этом случае квантовое фазовое пространство порождается секциями распределения, опирающимися исключительно на листы Бора-Зоммерфельда (этот результат принадлежит Снятицкому). Например, в случае спина листья Бора-Зоммерфельда представляют собой маленькие кружки при полуцелых значениях скорости вращения.$z$координаты в двумерной сфере. Более сложным примером листьев Бора-Зоммерфельда является система Гельфанда-Цетлина на флаговых многообразиях.

Многие классические фазы допускают как келеровскую, так и реальную поляризации. Интересно, что во многих случаях гильбертовы пространства квантования унитарно эквивалентны (т. е. квантование не зависит от поляризации). См., например , экспозицию Нохары .

Вопреки тому, что обычно считается, квазиклассическое приближение достигается с помощью двух разных рядов: один - ряд ВКБ, а другой - ряд Вигнера-Кирквуда, причем последний представляет собой градиентное расширение. В обоих случаях собственные значения получаются по правилу Бора-Зоммерфельда, но только в ведущем порядке. Я доказал это здесь (эта статья появилась в Proceedings of Royal Society A). Это доказательство является строгим и сильно отличается от того, что можно найти в стандартных учебниках. Кроме того, он производит полный ряд для точных собственных значений с обычным правилом Бора-Зоммерфельда в ведущем порядке.

Вот очень простой способ увидеть это легко:

Это Действие, найдите «Сокращенное действие» , и оно имеет единицу СИ Джоуль-секунду. Это уравнение использовал Планк (а позже и Эйнштейн):

Это означает, что постоянная Планка также имеет единицу измерения Джоуль-секунда, следовательно, вы можете интерпретировать$nh$как Действие системы (поскольку$n$безразмерна, она сохранит единицу и используется только для получения «правильного» ответа, так как не всякая механическая система имеет$h$как Действие,$n$должен быть использован).

Так

возможно, его можно вывести из приближения по плотности состояний

с$H= P^{2}/2m +V(x)$– гамильтониан частицы и$\theta (x)$ступенчатая функция Хевисайда