Интерпретация$s^2$довольно прямолинеен: для двух точек или событий в пространстве-времени это инвариантный к координатам способ приписать расстояние — в смысле, определяемом метрикой Минковского — между ними. В формулах, которые вы записали, одна из двух точек принимается за начало координат. В общем случае имеем

$$s^2_{1,2}=(\vec x_1-\vec x_2)^2-c^2(t_1-t_2)^2$$

Это в точности аналогично более интуитивному евклидову случаю, когда сигнатура метрики чисто положительна. Слово «интервал» более или менее синонимично «расстоянию между вещами», поэтому вполне естественно называть расстояние между двумя точками пространства-времени (или событиями) интервалом между ними.

Различные типы разделения

Чтобы сделать геометрическую интерпретацию более ясной, нужно работать с понятием светового конуса . Эта конструкция описана в любом тексте по специальной теории относительности, поэтому, если вы остались неудовлетворенными после прочтения этого ответа, я предлагаю вам взглянуть на литературу по этому вопросу.

Теперь начнем: если мы зафиксируем конкретную точку$x$, мы можем классифицировать все остальные точки в пространстве Минковского следующим образом: для любого$y\in M$, мы рассматриваем$s^2_{x,y}$и посмотрите на его знак. Таким образом, мы получаем три разных типа точек; каждая точка пространства Минковского принадлежит одному из следующих множеств:

$$T=\{y\in M \mid s^2_{x,y}<0\}\qquad S=\{y\in M \mid s^2_{x,y}>0\}\qquad L=\{y\in M \mid s^2_{x,y}=0\}$$

Мы говорим, что$y$времяподобно отделено от$x$если это элемент первого множества, пространственноподобно отделенный от$x$если это элемент$S$, а третье множество — это множество светоподобных разделенных точек (относительно$x$).

Чтобы понять эти соглашения об именах, мы сначала отметим, что световые лучи всегда распространяются со скоростью$v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=c$, так что любая траектория, по которой движется луч света, удовлетворяет$\vec x^2=c^2t^2$. Следовательно,$s^2=0$по траекториям, по которым движется свет. Это объясняет последнее из трех имен. Во-вторых, всякий раз$\Delta x_{1,2}^2 := (\vec x_1-\vec x_2)^2$больше, чем$c^2 \Delta t_{1,2}^2$, Мы видим, что$s_{1,2}^2>0$, так что такие точки имеет смысл называть пространственноподобно разделенными. Аналогичная аргументация оправдывает название «временеподобное разделение».

Я также хотел бы отметить, что, хотя я не буду доказывать это здесь, термины пространственноподобное и времениподобное разделение оправдываются тем, что не существует (инерциальной) системы отсчета, в которой два времениподобных разделенных события одновременны, в то время как существует нет системы отсчета, в которой два пространственноподобных разделенных события происходят в одном и том же месте, следовательно, такие точки действительно разделены во времени и пространстве соответственно. Эти утверждения непосредственно следуют из законов преобразования Лоренца.

Диаграмма светового конуса

Теперь, какова геометрия всей этой установки? Это прекрасно показано, например, на этой картинке из Википедии:

Здесь, точка$x$обозначается «наблюдатель» и принимается за начало. Набор$L$изображается сине-зеленым (двойным) конусом, начинающимся в начале координат. Набор$T$это множество всех точек внутри светового конуса(ов), как будущего, так и прошлого, в то время как множество$S$описывает все точки вне конуса.

причинность

Наконец, отметим, что понятие светового конуса тесно связано с понятием причинности : поскольку световой конус представляет собой максимальное расстояние, которое свет мог пройти от$x$(в будущей части) или максимальное расстояние, с которого мог попасть свет$x$в момент времени, который мы выбрали в качестве$t=0$плоскости, это на самом деле говорит вам, что ничто за пределами светового конуса не может быть в причинно-следственном контакте с$x$. То есть прошлые события, которые произошли за пределами прошлого светового конуса, не могли повлиять на событие.$x$, и событие$x$сама по себе не может влиять ни на какие будущие события, лежащие вне будущего светового конуса.

Да, есть геометрическая интерпретация.

Во-первых, обратите внимание, что вы можете создать прямоугольник, стороны которого — лучи света, а два события — в противоположных углах.

Чтобы увидеть это, если они разделены во времени, выстрелите лучом света от более раннего к более позднему, и вы доберетесь до этого места слишком рано, поэтому пусть он продолжает идти, пока не достигнет события, в котором может достичь луч света, идущий в противоположном направлении. более позднее событие. Это две стороны. Для следующей стороны начните двигаться в противоположном направлении и переключитесь на первое направление, когда вы, наконец, подождите достаточно долго. В кадре, где они были в одном месте и на расстоянии T друг от друга, вы посылали лучи в двух противоположных направлениях.$D=cT/2$а потом одновременно подпрыгнуть и вернуться.

Для пространственноподобных разделенных событий в кадре, где они одновременны, средняя точка посылает луч в двух противоположных направлениях, чтобы он отразился от двух событий и вернулся обратно.

Вы даже можете думать об этом как об обычном прямоугольнике, который имеет два пространственноподобных разделенных события в двух вершинах и два пространственноподобных разделенных события в двух других.

Расстояние равно удвоенной площади того прямоугольника, у которого лучи являются сторонами. И, конечно же, площадь физически связана с показаниями часов на радаре для измерения времени или расстояния. Все это верно в теории относительности Галилея, но в специальной теории относительности эта область одинакова для любых двух инерциальных наблюдателей. Инвариантность исходит из того факта, что две две инерциальные движущиеся системы буквально видят, как друг друга движут с одинаковой буквальной скоростью. Я процитирую Мермина, так как я получил описание световых прямоугольников от Мермина.

Два инерциальных наблюдателя, находящиеся в относительном движении, должны каждый видеть, как часы другого идут с одинаковой скоростью. Представление этой симметрии эффекта Доплера в двумерной пространственно-временной диаграмме раскрывает важный геометрический факт: квадрат интервала между двумя событиями пропорционален площади прямоугольника фотонных линий с событиями в диагонально противоположных вершинах.

«Пространственно-временные интервалы в виде световых прямоугольников» Н. Дэвида Мермина в Американском журнале физики, том 66, выпуск 12, стр. 1077–1080 (1998); http://dx.doi.org/10.1119/1.19047

Мой ответ непреднамеренно натолкнет вас на два моих религиозных предубеждения:$w = ct$и что правильное соглашение для интервала$ds^2 = dw^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.$Извините заранее.

Общий фон

В теории относительности мы говорим, что трехмерный вектор может быть соединен со скаляром как четырехвектор, если они преобразуются в соответствии с усилением Лоренца при переходе к новой инерциальной системе координат, движущейся со скоростью$\vec v$относительно старого. Повышение Лоренца на$\vec \beta = \vec v/c$(с$\gamma = 1/\sqrt{1 - \vec\beta\cdot\vec\beta}~$) является преобразованием 4-векторов

$$(\alpha,\; \vec a) ~\mapsto~ \left(\gamma~\left[\alpha - \vec \beta \cdot \vec a\right],\; \vec a + \vec\beta~\left[(\gamma - 1)~ \frac{\vec a\cdot\vec\beta}{\vec\beta\cdot\vec\beta} ~-~ \gamma~\alpha\right]\right),$$ который, как можно показать, сохраняет внутренний продукт $(\alpha, \vec a) * (\beta, \vec b) = \alpha~\beta - \vec a \cdot \vec b.$Этот продукт $(*)$поэтому очень важен для теории относительности и, в частности, позволяет нам превратить 4-векторы в величины, которые имеют непосредственное отношение к нам. Более широкая группа, которую мы хотим, называется «группой Пуанкаре», и это группа, созданная вращением пространственного подпространства, 4D-смещениями, лоренцевскими повышениями и переворотами четности. $(\alpha, \vec a)\mapsto (-\alpha, \pm\vec a);$это все изометрии $(*)$продукт в 4D пространстве.

Вектор положения$\vec r = [x, y, z]$можно сочетать со временем$w$для создания 4-й позиции для «внезапного события», точки в пространстве-времени. Из-за переводов в группе Пуанкаре мы, как правило, хотим формировать только 4-векторные произведения$(*)$с различиями в 4-х позиционных (4-х смещениях!), а не фактических 4-х позиционных векторах.

Световые конусы в виде расширяющихся пузырей

Рассмотрим такое внезапное событие: поскольку ничто не может двигаться быстрее скорости света, вы не можете знать, что это произошло на самом деле, пока вас не поразит свет от этого события. Этот свет исходит из события, как расширяющийся пузырь, движущийся со скоростью$c.$Мы назовем это «световым пузырем», но технический термин — «световой конус, указывающий на будущее». Отступив назад и взглянув на вселенную в любой момент времени целостно: внутри светового пузыря находятся все те точки пространства, которые «видели» событие когда-то в своем прошлом; эти точки в пространстве-времени, таким образом, являются «релятивистским будущим» события, если вы расширите его на все времена.

Точно так же мы можем думать о направленном в прошлое световом конусе события, который представляет собой набор всех световых лучей, которые могли упасть на точку события, когда оно произошло: это еще один «расширяющийся пузырь», но расширяющийся в отрицательное направление времени. Точки внутри этого пузыря находятся в «релятивистском прошлом» события, событие смогло их увидеть.

Такой расширяющийся со скоростью$c$пузырь описывается координатами

$$(w - w_0)^2 = (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2,$$ Итак, мы видим, что ускорение Лоренца сохраняет структуру этих световых пузырей, отображая световые пузыри на другие световые пузыри, но, возможно, изменяя их размер в какой-то момент относительно друг друга или перемещая их в пространстве. На самом деле благодаря своей линейности он делает нечто еще более интересное: сохраняет их топологию . Учитывая два события в пространстве-времени, либо один световой пузырь находится «внутри» другого (объективно A появился раньше B), и они не пересекаются: либо они оба в конечном итоге «столкнутся» по мере расширения. В первом случае имеется система отсчета, которая посещает событие A, а затем продолжает инерционно посещать событие B, поэтому в этой системе отсчета оба события происходят «прямо здесь» и, следовательно, они объективно не разделены пространством. Однако, поскольку никто не может двигаться быстрее, чем $c$, у этого космического корабля нет возможности покинуть световой пузырь, и поэтому случай «столкновения» означает, что A и B объективно находятся в разных местах : нет никакой системы отсчета, которая по инерции посещает их обоих.

Однако ускорение Лоренца может изменить размер обоих сталкивающихся пузырей, чтобы они имели одинаковый размер. Таким образом, в этой системе отсчета оба события были одновременными: события больше не разделены объективно в пространстве. Таким образом, события могут быть либо объективно разделены пространством, объективно разделены временем или, возможно, «нулем разделены», если они находятся на бесконечно тонкой границе между ними (один пузырь находится «внутри» другого, но они соприкасаются в точке, где все время; ни один реальный наблюдатель не мог бы находиться в обоих; они объективно разделены как пространством, так и временем, но каждое из этих разделений может быть сделано сколь угодно малым).

Пространственно-временной интервал как собственное время, собственное расстояние между событиями.

Все движения частиц описываются движением от события к его релятивистскому будущему, и, таким образом, 4-смещение$R$между ними удовлетворяет$R * R > 0.$В частном случае, когда частица совершает это движение по инерции , она имеет инерциальную систему отсчета, в которой эти две точки в пространстве-времени описываются как$(w_0, \vec 0)$и$(w_1, \vec 0)$и поэтому$R * R = (w_1 - w_0)^2.$Мы называем такую ​​разницу во времени$w_1 - w_0$правильное время $\tau$между двумя событиями: это время, измеряемое координатами, которые считают, что оба события произошли в одном и том же месте. Это минимальное такое время между двумя событиями; из-за структуры преобразования Лоренца в любой другой системе отсчета время будет увеличиваться, чтобы сохранить$\Delta w^2 - \Delta r^2 = \Delta w^2 (1 - \beta^2) = \tau^2$, так что вообще вы видите$\Delta w = \gamma~\tau.$

Если два события объективно разделены пространством, то они имеют 4-смещение.$R$удовлетворяющий$R * R < 0.$В этом случае,$\ell = \sqrt{-R * R} = |\vec r_1 - \vec r_0|$- это правильное расстояние между положениями двух событий, измеренное кем-то, кто видел их оба одновременными; другие люди обычно увидят большее расстояние между тем, где произошли эти два события.

(«Больше» может показаться странным, если вы привыкли к сокращению длины, но вы также можете вывести сокращение длины из преобразования Лоренца. Оно включает две мировые линии$(w, \vec 0)$и$(w, x~\hat \beta)$где$\hat \beta$— единичный вектор в направлении, которое мы собираемся увеличить. Это становится наклонными линиями$(\gamma~w, -\gamma~\vec\beta~w)$и$(\gamma (w - \beta~x),\;\hat \beta~[\gamma~x - \gamma~\beta~w]);$заставляя их обоих иметь компонент времени 0, означает, что первый$(0, 0)$в то время как второй$(0,\hat\beta~\gamma~x[1 - \beta^2]) = (0, \hat\beta~x/\gamma).$Ключевое несоответствие, на которое следует обратить внимание, заключается в том, что в случае сокращения длины мы говорим о расстояниях между двумя объектами «в одно и то же время», тогда как когда мы увеличиваем вышеупомянутое «правильное расстояние», события внезапно происходят в два разных момента времени. .)

В евклидовом пространстве инвариант$s^2=x^2+y^2+z^2$равен квадратам длины вектора положения$r$.

" Длина ", или "расстояние между точками", является координационно-независимым (инвариантным) понятием. В трехмерном евклидовом пространстве точки расположены плоско друг к другу; это означает: учитывая любые пять точек,$\mathsf A$,$\mathsf B$,$\mathsf J$,$\mathsf K$,$\mathsf Q$, и учитывая десять попарных значений расстояния между ними,$d[~\mathsf A, \mathsf B~]$,$d[~\mathsf A, \mathsf J~]$...,$d[~\mathsf K, \mathsf Q~]$, то их (нормализованный) определитель Кэли-Менгера обращается в нуль:

0 =$\begin{array}{|cccccc|} 0 & \left(\frac{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf A, \mathsf J~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf A, \mathsf K~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf A, \mathsf Q~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[~\mathsf B, \mathsf A~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{d[~\mathsf B, \mathsf J~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf B, \mathsf K~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf B, \mathsf Q~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[~\mathsf J, \mathsf A~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf J, \mathsf B~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{d[~\mathsf J, \mathsf K~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf J, \mathsf Q~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[~\mathsf K, \mathsf A~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf K, \mathsf B~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf K, \mathsf J~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{d[~\mathsf K, \mathsf Q~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[~\mathsf Q, \mathsf A~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf Q, \mathsf B~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf Q, \mathsf J~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf Q, \mathsf K~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 0 & 1 & \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & \end{array}$.

Если координатные кортежи$\{ x, y, z \} \in \mathbf R^3$сопоставляются всем точкам этого пространства так, что для любых двух точек$\mathsf A$и$\mathsf B$

$$s^2[~\mathsf A, \mathsf B~] := (d[~\mathsf A, \mathsf B~])^2 = (x[~\mathsf B~] - x[~\mathsf A~])^2 + (y[~\mathsf B~] - y[~\mathsf A~])^2 + (z[~\mathsf B~] - z[~\mathsf A~])^2,$$

то такое задание координат называется «декартовыми координатами (трехмерного евклидова пространства)».

С другой стороны, в пространстве Минковского соответствующая инвариантная величина определяется как квадрат пространственно-временного интервала$s^2=x^2+y^2+z^2 - c^2 t^2$

Что ж, это (или, возможно, какой-то вариант, включающий определенные различия между значениями координат) действительно можно принять за определение, поскольку пространство Минковского основано на рассмотрении алгебраических отношений между некоторыми наборами координат, а не геометрических отношений. Следовательно, мы можем спросить об интерпретациях количества "$s^2$"с точки зрения геометрии и физики.

Вопрос: Существует ли соответствующая геометрическая интерпретация?

Конечно:

• положительное значение$s^2$(между двумя различными подходящими рассматриваемыми событиями, скажем,$\mathsf A$и$\mathsf B$) интерпретируется с точки зрения расстояния между двумя участниками, если один из них принимал участие в событии$\mathsf A$а другой принимал участие в мероприятии$\mathsf B$; в частности, как квадрат минимального расстояния (или, если минимума не существует, инфимума всех расстояний ) среди всех таких пар участников;

• отрицательное значение$s^2$(между двумя различными подходящими рассматриваемыми событиями, скажем,$\mathsf J$и$\mathsf K$) интерпретируется с точки зрения продолжительности одного участника между участием (сначала) в одном из этих двух событий и (затем) в другом; именно как ("$(-1)~c^2$" раз) квадрат максимальной продолжительности (или, если максимума не существует, супремум всех продолжительностей ) среди всех этих участников;

• нулевое значение$s^2$(между двумя различными подходящими рассматриваемыми событиями, скажем,$\mathsf P$и$\mathsf Q$) интерпретируется как « сигнальный фронт » одного события, достигшего другого события, и

• для любого события:$s^2[~\mathsf A, \mathsf A~] = 0$, слишком.

Во-вторых, почему эту величину называют интервалом?

Слово « интервал », очевидно, связано с «(пространственным или временным) разделением». По-видимому, люди, применявшие это название к величине$s^2$(а не вместо количества "$\text{sgn}[~s^2~]~\sqrt{\text{sgn}[~s^2~]~s^2}$") особо не заморачивались$s^2$ссылаясь на квадраты значений расстояния или продолжительности.