Совпадение пространственно-временных событий и лоренц-инвариантность

Правильно ли я думаю, что если два пространственно-временных события совпадают в одной системе отсчета, то они совпадают во всех системах отсчета, т.е. совпадение пространственно-временных событий является лоренц-инвариантным понятием?

Если да, то является ли следующий правильный способ доказать это утверждение?

Позволять$x^{\mu}$и$y^{\mu}$быть координатами двух пространственно-временных событий в некоторой инерциальной системе отсчета$S$. Предположим, что эти события совпадают в данной системе отсчета, т.е.$x^{\mu}=y^{\mu}$. Теперь рассмотрим другую инерциальную систему отсчета$S'$. В этой системе отсчета пространственно-временные координаты двух событий равны$x'^{\mu}$и$y'^{\mu}$соответственно. Координаты событий в$S'$относятся к тем, кто в$S$преобразованием Лоренца следующим образом$x'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}x^{\nu}$и$y'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}y^{\nu}$. Отсюда следует, что как$x^{\mu}=y^{\mu}$в$S$,

$$x'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}x^{\nu}=\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}y^{\nu}=y'^{\mu}$$ и, следовательно, если два события совпадают в $S$, то они совпадают и в $S'$. Более того, поскольку эти две инерциальные системы отсчета были выбраны произвольно, отсюда следует, что это верно для любой инерциальной системы отсчета.

Не по этой ли причине мы строим лагранжевы плотности (в теории поля) в терминах полей (и их производных первого порядка) в одной точке пространства-времени , поскольку это единственный случай, когда расположение взаимодействия является лоренц-инвариантным, тем самым обеспечивая лоренц-инвариантное понятие локальности в теории?