Существует ли гравитационный аналог классического резерфордовского атома?

Хороший вопрос! Действительно, в ОТО есть явление, аналогичное излучению резерфордовского атома, но ваша формула его не описывает: как написано, оно применимо к диполярному излучению гравитационного излучения, но гравитационное излучение начинается только при квадрупольном порядке возмущения. расширение, которое подавляется фактором$(v/c)^2$по сравнению с диполем.

Причина этого, с точки зрения Ньютона, заключается в том, что при дифференцировании гравитационного диполя вы находите полный импульс излучающей системы, который сохраняется, поэтому вторая производная гравитационного диполя обращается в нуль (см. здесь) --- это отражает тот факт что в то время как в электромагнетизме у нас есть только один закон сохранения заряда, в ОТО сохраняется полный четырехимпульс.

Формулу, описывающую потерю энергии двойной системой из-за квадрупольного излучения, можно найти в этой статье Википедии ; Обратите внимание$c^5$термин в знаменателе, в отличие от вашего$c^3$. Существует также скрытый фактор$\omega^6$(в отличие от$\omega^4$) в формуле Википедии: альтернативный способ выражения излучаемой мощности (усредненной за период):

Чтобы дать представление о разнице, я подставил некоторые числа, и ваше выражение предсказывает скорость потери энергии примерно$3 \times 10^{14} \,\mathrm{W}$в текущей конфигурации Солнце-Земля, в то время как правильное выражение ОТО предсказывает$2 \times 10^{2} \,\mathrm{W}$.

Опираясь на то же самое и предполагая, что набор гравитоэлектромагнитных уравнений верен…

Уравнения гравитоэлектромагнитного поля нельзя использовать для записи уравнений гравитационного излучения, поскольку это приближение связано с уравнениями для метрической составляющей возмущений$h_{00}$, который является аналогом скалярного потенциала$\Phi$и$h_{0i}$, который является аналогом векторного потенциала$\mathbf{A}$. Но для излучения необходимо также рассматривать уравнения для компонент$h_{ij}$(не имеющее электромагнитного аналога), что является более высоким порядком приближения. Вместо этого нужно использовать полный набор линеаризованных гравитационных уравнений.

Гравитационное излучение имеет квадрупольную природу, в отличие от электромагнитного излучения, которое имеет дипольный характер. В результате излучение гравитационных волн является эффектом пятого порядка по степеням$1/c$, тогда как ЭМ излучение третьего порядка.

Необходимое уравнение для мощности гравитационного излучения планеты на круговой орбите вокруг звезды:

… не можем ли мы сказать, что сама Земля должна однажды закрутиться вокруг Солнца…

Для системы Земля–Солнце эта формула дает примерно$200\,\text{W}$гравитационного излучения. Это дает «время жизни» из-за гравитационного излучения около$10^{23}\,$годы. Конечно, эта цифра имеет мало общего с реальной судьбой Земли, поскольку она, вероятно, будет поглощена Солнцем, когда войдет в фазу красного гиганта, или будет выброшена из Солнечной системы какой-нибудь проходящей звездой.