Существует ли интуитивное описание вакуумной запутанности?

Если у вас есть гармонический осциллятор по x, волновая функция основного состояния является гауссовой;

$$H = {p^2\over 2} + {\omega^2 x^2\over 2}$$

$$\psi_0(x) = e^{ - {\omega x^2\over 2}}$$

Если у вас есть два независимых осциллятора x,y;

$$H = {p_x^2\over 2} + {p_y^2\over 2} + {\omega_1^2 x^2\over 2} + {\omega_2^2 y^2\over 2}$$

основное состояние является произведением:

$$\psi_0(x,y) = e^{-{\omega_1 x^2\over 2}} e^{-{\omega_2 y^2\over 2}}$$

Таким образом, в основном состоянии между x и y нет запутанности. Но если вы посмотрите на это в повернутой основе (и$\omega_1 \ne \omega_2$), есть запутанность.

Для скалярного квантового поля в пространственной решетке конечного объема (время все еще непрерывно) у вас есть (если вы преобразуете Фурье в пространстве) набор несвязанных гармонических осцилляторов (сумма по k находится по неизбыточным k для реального скаляра поле, это половина полного пространства$k_x>0$):

$$H = \sum_k {1\over 2} \dot{\phi_k}^2 + {k^2+m^2\over 2} \phi^2$$

Что представляет собой группу несвязанных осцилляторов, так что основное состояние;

$$\psi_0(\phi_k) = \prod_k e^{-{\sqrt{k^2+m^2} |\phi_k|^2\over 2}}$$

Это не запутано с точки зрения$\phi_k$, но с точки зрения$\phi_x$(на решетке), он запутался. Вакуумная волновая функция Гаусса может быть выражена здесь как:

$$\psi_0(\phi) = e^{-\int_{x,y} \phi(x) J(x-y) \phi(y)}$$

Где$J(x-y) = {1\over 2} \sqrt{\nabla^2 + m^2}$это не распространитель, это странный нелокальный оператор извлечения квадратного корня.

Вакуум для бозонных теорий поля — это статистическое распределение, это распределение вероятностей, то есть вероятность нахождения конфигурации поля.$\phi$в симуляции Монте-Карло в любой воображаемый отрезок времени симуляции (когда вы делаете t-координату длинной). Это одна из интерпретаций того факта, что она реальна и положительна. Корреляции в этом распределении вероятностей являются вакуумными корреляциями, и для свободных полей их легко вычислить.

На мой взгляд, материал по аксиоматической теории поля не стоит читать. Это сбивает с толку и выдает незнание основополагающих идей области, включая Монте-Карло и интеграл по путям.

Общая волновая функция вакуума для бозонных полей

В любом интеграле по путям для бозонных полей с реальным действием (теория PT-инвариантов), включая чистую теорию Янга-Миллса и теории с интегрированными фермионами, вакуумная волновая функция — это то же самое, что и распределение вероятностей значений поля в евклидовой временной формулировке теории. Это верно вне теории возмущений, и совершенно нелепо, что строгой математической теории не существует. Причина в том, что пределы распределений вероятностей на полях по мере того, как решетка становится тонкой, неудобно определять в теории меры, поскольку они становятся мерами на распределениях.

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что при t = 0 ни теория мнимого времени, ни теория реального времени не имеют никаких факторов эволюции времени, поэтому они эквивалентны. Таким образом, в неограниченном воображаемом ящике во времени ожидаемые значения в евклидовой теории в один временной интервал равны равным по времени вакуумным математическим ожиданиям в лоренцевских теориях.

Это дает вам определение методом Монте-Карло вакуумной волновой функции любой PT-инвариантной бозонной теории поля, свободной или нет. Это основное понимание основных состояний благодаря Фейнману, явно описанное в интеграле по путям и в работе по основному состоянию жидкого He4 в 1950-х годах (это также бозонная система, поэтому основное состояние является распределением вероятностей). Он используется для описания вакуума Янга-Миллса 2+1 в 1981 году Фейнманом (его последняя опубликованная статья), и эта работа расширена для вычисления натяжения струн Кербали и Наиром около десяти лет назад.

Чтобы ответить на вопрос «Существует ли интуитивное описание вакуумной запутанности?», мы хотели бы указать, что для определения запутанности в квантовой теории (определяемой гильбертовым пространством и гамильтонианом) нам нужно предположить, что полное гильбертово пространство является прямым -произведение локальных гильбертовых пространств:$\cal{H}_{tot}=\otimes_i \cal{H}_i$. (Например, в решетчатой ​​модели$\cal{H}_i$может быть гильбертовым пространством на сайте-$i$.) Такую структуру прямого произведения можно рассматривать как УФ-дополнение квантовой теории поля. Следовательно, чтобы обсудить вакуумную запутанность, нам нужно предположить, что полное гильбертово пространство нашей Вселенной имеет структуру$\cal{H}_{tot}=\otimes_i \cal{H}_i$. Следующее обсуждение основано на таком предположении, что «вакуум» - это просто вектор основного состояния в полном гильбертовом пространстве.$\cal{H}_{tot}$.

Основные состояния почти всех гамильтонианов запутаны (поскольку эти основные состояния, как правило, не являются состояниями произведения). Таким образом, вакуум, как и обычное основное состояние, также является запутанным состоянием.

Однако вакуум нашей Вселенной очень особенный: наш вакуум на самом деле представляет собой дальнодействующее запутанное состояние , или, другими словами, топологически упорядоченное состояние . Это связано с тем, что известно, что только дальнодействующие запутанные состояния производят электромагнитную волну, удовлетворяющую уравнению Максвелла, и фермионы, удовлетворяющие уравнениям Дирака (как коллективные возбуждения над основным состоянием). Я написал статью , чтобы описать это подробно. См. также вопрос PE .

Таким образом, тот факт, что наш вакуум поддерживает фотоны и фермионы (как квазичастицы), подразумевает, что наш вакуум представляет собой запутанное состояние с большим радиусом действия.

На слайдах Саммерса неправильно используется общепринятая терминология (хотя и по формально обоснованной причине, объясненной ниже), что вносит путаницу.

Запутанные состояния, по общепринятому определению (данному, например, в Википедии), определяются в тензорном произведении с более чем одним фактором размерности.$>1$.

С другой стороны, вакуумное состояние свободной теории и любого асимптотического представления взаимодействующей теории — это состояние, определенное в пространстве Фока, которое представляет собой прямую сумму всех пространств тензорных произведений$H_N$представляющий$N$-частичный сектор ($N=0,1,2,\dots$). По определению, вакуумное состояние охватывает$0$-частичный сектор, который является одномерным пространством и не является частью ни одного из пространств тензорных произведений внутри фоковского пространства.

Таким образом, бессмысленно (т.е. не подкрепленное последовательными формальными определениями) называть вакуумное состояние запутанным в общепринятом смысле.

Чтобы еще больше распутать вещи, может быть хорошим упражнением рассмотреть нерелятивистскую КМ в формализме второго квантования, используемом в статистической механике. Там все вышесказанное аккуратно отображается и интерпретируется в терминах обычных многочастичных волновых функций, и становится ясно, что применение Саммером традиционной концепции запутанности к вакуумному состоянию является ложным.

Однако Саммерс вводит на слайде 12 другую концепцию запутанности, адаптированную к состояниям в квантовой теории поля, которая применима к состоянию вакуума. Это слабо связано с обычной запутанностью в том, что$N=1$сектор КТП представлен двухточечными вакуумными корреляционными функциями, хотя ни одно из состояний с$N=1$является вакуумным состоянием. Следовательно, в этой структуре можно имитировать обычное неравенство Белла.

Согласно этому определению, высказывания Саммерса о вакуумном состоянии имеют смысл. Но их не следует путать с обычной запутанностью, поскольку они представляют собой, переведенные в обычную КМ, утверждения о парах одночастичных состояний, а не утверждения о вакууме.

Редактировать: аналогия, в которой следует рассматривать вещи, заключается в том, что в случае КТП тензорное произведение находится не в пространстве состояний, а в правильно выбранном пространстве операторов. Вот почему формальный механизм типа Белла может быть адаптирован к этой ситуации.

Для невзаимодействующего квантового поля вся математическая структура чисто гауссовых ВЭВ, то есть вакуумное состояние, содержится в 2-точечной ВЭВ, которая для поля КГ является распределением

$$\left<0\right|\hat\phi(x+y)\hat\phi(y)\left|0\right>=\frac{m\theta(x^2)}{8\pi\sqrt{x^2}}\left[Y_1(m\sqrt{x^2})+\epsilon(x_0)iJ_1(m\sqrt{x^2})\right]-\frac{\epsilon(x_0)i}{4\pi}\delta(x^2)$$ $$\hspace{7em}+\frac{m\theta(-x^2)}{4\pi^2\sqrt{-x^2}}K_1(m\sqrt{-x^2}).$$ Вторая строка дает корреляционную функцию при пространственноподобном разделении, где всегда возможны совместные измерения, тогда как при времениподобном или светоподобном разделении мнимая составляющая первой строки приводит к несовместимости измерений. Несовместимость измерений приводит к проблемам, которым, конечно, нелегко придать интуитивное значение, но приведенное выше показывает характер корреляций для случая свободного поля.

Член функции Бесселя при пространственно-подобном разделении равен$\frac{1}{4\pi^2(-x^2)}$на маленьком$x$, тогда как асимптотически становится$\sqrt{\frac{2m}{\pi^3\sqrt{-x^2}^3}}\,\frac{\exp{\left(-m\sqrt{-x^2}\right)}}{8}$для больших$x$.

Для взаимодействующих полей 2-точечная функция всегда имеет сравнимый вид, размытый плотностью массы, представление Каллена–Лемана , но ВЭВ более высокого порядка относительно нетривиальны.