Как инстантоны вызывают распад вакуума?

Рассмотрим инстантоны обычной чистой теории Янга-Миллса для калибровочной группы$G$в четырех евклидовых измерениях:

Инстантон – это локальный минимум действия

$$S_{YM}[A] = \int \mathrm{tr}(F \wedge \star F)$$

то есть на$\mathbb{R}^4$, точно заданные (анти-)самодуальными решениями$F = \pm \star F$. Для (анти-)самодуальных решений$\mathrm{tr}(F \wedge \star F) = \mathrm{tr}(F \wedge F)$. Последний является топологическим термином, известным как второй класс Черна, и его интеграл дискретен:

$$\int \mathrm{tr}(F \wedge F) = 8\pi^2 k$$

с целым числом$k \in \mathbb{Z}$(не спрашивайте о$\pi$). Для данного$k$, о соответствующем поле кривизны/калибровке также говорят как о$k$-инстантон . Теперь, как это связано с вещами, о которых вы спрашивали?

Инстантоны как вакуум

Поскольку инстантон обеспечивает локальный минимум действия, он является естественным началом для теории возмущений, где он, естественно, представляет собой вакуум. У нас бесконечно много вакуумов на выбор, так как$k$является произвольным.

Инстантоны и три сферы

(Мотивация здесь в том, что для того, чтобы вакуум имел конечную энергию,$F = 0$на бесконечности, поэтому мы фактически ищем решение уравнений поля на$\mathbb{R}^4 \cup \{\infty\} = S^4$такой, что$F(\infty) = 0$)

Возьмем два локальных инстантонных решения$A_1,A_2$(для того же класса Черна$k$) на некоторых открытых дисках$D_1, D_2$´. Теперь склейте их вместе калибровочным преобразованием$t : D_k \cap D_{k'} \rightarrow G$согласно

$$A_2 = tA_1t^{-1} + t\mathrm{d}t^{-1}$$

(мы, по сути, определяем главное расслоение над$S^4$здесь) и обратите внимание, что$\mathrm{tr}(F_i \wedge F_i) = \mathrm{d}\omega_i$с$\omega_i$форма Черна-Саймонса

$$\omega_i := \mathrm{tr}(F_i \wedge A_i - \frac{1}{3} A_i \wedge A_i \wedge A_i)$$

Возьмите два диска как полушария$S^4$, перекрывающиеся только на экваторе. Если теперь снова вычислить класс chern, мы найдем:

$$8\pi^2 k = \int_{D_1} \mathrm{d}\omega_1 + \int_{D_2} \mathrm{d}\omega_2 = \int_{\partial D_1} \omega_1 + \int_{\partial D_2} \omega_2 = \int_{S^3} \omega_1 - \int_{S^3} \omega_2$$

в силу теоремы Стокса и разной ориентации границы полушария относительно друг друга. Если мы рассмотрим RHs дальше, мы обнаружим, что

$$k = - \frac{1}{24\pi^2} \int_{S^3} \mathrm{tr}(t\mathrm{d}t^{-1} \wedge t\mathrm{d}t^{-1} \wedge t\mathrm{d}t^{-1})$$

Итак$k$полностью определяется выбранным калибровочным преобразованием! Это все$k$-vacua имеют одинаковое значение в действии, на самом деле они не отличаются. Это означает, что мы уже можем классифицировать$k$-инстантон, задав калибровочное преобразование$t : S^3 \rightarrow G$. Тополог сразу видит, что$t$поэтому дается выбором элемента третьей гомотопической группы$\pi_3(G)$, так как гомотопические отображения интегрируются в одни и те же вещи. Для простой группы Ли, которой мы всегда выбираем наши калибровочные группы,$\pi_3(G) = \mathbb{Z}$, что является хорошим результатом:$t$(с точностью до гомотопии, что, впрочем, то же самое, что и с точностью до глобального калибровочного преобразования) уже определяется$k$-номер инстантона.

Инстантоны и туннелирование

Теперь мы можем видеть, что такое туннелирование между$N$- и$N + k$-вакуум может означать:

Возьмите$[-T,T] \times S^3$пространство-время, то есть «цилиндр», и заполнить его$k$-Конфигурация поля instanton$A_k$. По существу, согласно обычным топологическим рассуждениям, это пропагатор между пространством состояний в одной точке.$S^3$к другому$S^3$. Если вы вычислите его статистическую сумму, вы получите туннельную амплитуду для набора состояний, принадлежащих$\{-T\} \times S^3$превращаясь в множество состояний, принадлежащих$\{T\} \times S^3$.

Посчитаем еще раз класс Черна (или число обмотки, или инвариант Пойнтрагина — у этой штуки имен больше, чем жизней у кошек):

$$8\pi^2 k = \int_{[-T,T] \times S^3} \mathrm{d}\omega = \int_{\{T\}\times S^3} \omega(-T) - \int_{\{-T\}\times S^3} \omega(T)$$

Если$S^3$представляют собой вакуум, напряженность поля там обращается в нуль и$A(-T),A(T)$являются чистой калибровкой, т.е.$A(\pm T) = t_\pm \mathrm{d} t_\pm^{-1}$, поэтому мы имеем форму Черна-Саймонса, сводящуюся к форме Картана-Маурера$\omega(\pm T) = \frac{1}{3} t_\pm \mathrm{d} t_\pm^{-1} \wedge t_\pm \mathrm{d} t_\pm^{-1} \wedge t_\pm \mathrm{d} t_\pm^{-1}$. Но теперь два граничных интеграла для числа оборотов просто определяются гомотопическим классом$t_\pm : \{\pm T\} \times S^3 \rightarrow G$, давайте назовем их$k_\pm$. Поэтому мы имеем просто$k = k_+ - k_-$.

Итак, мы имеем здесь цилиндрическое пространство-время с$k$-инстантонная конфигурация действительно является пропагатором между пространством состояний, связанным с пространственным срезом$k-$-инстантон и пространство состояний, связанное с пространственным срезом$k_+$-инстантон, где$k_\pm$точно отличаются$k$, так что вы получите амплитуду из статистической суммы этого цилиндра. На самом деле вычислить это - работа на другой день (и вопрос);)