В разделе 10.1 своего учебника « Квантовая теория поля для математиков » Тичиати пишет:
Предполагая, что фоновое поле или классический источник равен нулю в пространственно-временной бесконечности, наличие не повлияет на физический вакуум, .
(Контекст теория.)
Прежде всего, что такое физический вакуум ? Моей первой мыслью при правильном определении состояния вакуума было бы:
Определение 1. Говорят, что квантовое состояние является состоянием вакуума тогда и только тогда, когда среднее значение гамильтониана в этой теории является локальным минимумом (гамильтониан, конечно, является частью данных, определяющих теорию).
Правильно ли это представление о том, что значит быть «физическим вакуумом» в данной теории? Если да, то сразу возникают два вопроса:
(1) В какой степени вакуум уникален? Я много раз слышал, что у нас есть так называемый «вырожденный вакуум». Предположительно, это означает, что происходит какая-то неуникальность.
(2) Обязательно ли физический вакуум инвариантен по Пуанкаре? (В релятивистской квантовой механике проективное гильбертово пространство, то есть пространство состояний, имеет действие группы Пуанкаре, сохраняющее вероятности, поэтому имеет смысл говорить о том, инвариантны состояния или нет.) Если при таком определении физический вакуум не обязательно является инвариантом Пуанкаре, тогда нам лучше изменить наше определение, включив в него это, то есть:
Определение 2. Квантовое состояние называется вакуумным , если оно инвариантно по Пуанкаре и среднее значение гамильтониана в этой теории является локальным минимумом.
Затем,
(3) В какой степени с этим альтернативным определением вакуум уникален?
Во-вторых, учитывая соответствующее определение «физического вакуума», как бы повлиять на это состояние в том случае, если оно не исчезло в пространственно-временной бесконечности?
Вы правы в том, что вакуум — это состояние, при котором энергия минимальна. В классическом пределе это легко сделать. Давайте теория например. Тогда гамильтониан равен . Таким образом, самая низкая энергетическая конфигурация - это та, в которой постоянно сидит в , дно потенциала.
Однако мы ожидаем, что квантовые поправки изменят определение состояния вакуума. Например, рассмотрим квантовую механику частицы в потенциале двойной ямы. В классическом случае частица хочет сесть в один из колодцев, но мы знаем, что истинный вакуум представляет собой четную линейную комбинацию двух классических вакуумов из-за туннелирования, и что энергия нечетной комбинации должна быть поднята. На самом деле это происходит при экспоненциально малых связях из-за непертурбативных инстантонных вкладов.
В общем случае нужно минимизировать квантовый эффективный потенциал, см. книгу Коулмана.
Вакуум не обязательно должен быть уникальным. Одним глупым примером является случай спонтанного нарушения симметрии, скажем, с потенциалом мексиканской шляпы. В этом случае вакуума хватит на круг. Причина, по которой этот пример является глупым, заключается в том, что физика во всех вакуумах одинакова, поскольку они связаны нелинейно реализованной глобальной симметрией.
Лучшим примером является случай некоторых суперсимметричных теорий, где можно найти богатое пространство модулей классических вакуумов. Например, для калибровочных теорий в отсутствие членов Файе–Илиополуса это пространство параметризуется набором независимых голоморфных калибровочно-инвариантных мономов в скалярных полях. В отличие от случая спонтанного нарушения симметрии, они не связаны глобальными симметриями, поэтому они действительно являются невырожденными вакуумами с другой физикой. Эта ситуация обычно распространяется и на квантовую теорию из-за неперенормировки суперпотенциала. Однако потенциал Кэлера может получать квантовые поправки, поэтому метрика в пространстве модулей изменяется квантово.
Вакуум не всегда инвариантен Пуанкаре. В случае теории это потому, что математическое ожидание однородна и статична, а именно . Контрпример — это струна, встроенная в пространство-время. Это нарушает поперечную трансляционную симметрию, что приводит к поперечные голдстоуновские бозоны (т. калибровки светового конуса в теории струн.) Вы должны быть осторожны при подсчете голдстоунов для спонтанно нарушенной инвариантности Пуанкаре, см. Low and Manohar, http://arxiv.org/abs/hep-th/0110285 . Даже если вакуум инвариантен по Пуанкаре, он не обязательно должен быть единственным, как мы видим из приведенного выше примера из суперсимметрии.
Я не уверен, что произошло бы, если бы у вас был источник, который не исчезал бы в бесконечности, разве ваша энергия не расходилась бы? Это кажется плохим.
Эмилио Писанти