Существует ли вектор, который нельзя записать в виде кортежа скаляров?

Самое абстрактное/общее определение вектора

Наиболее общее определение вектора — это элемент векторного пространства. Учитывая вектор ты , всегда можно сказать, что существует векторное пространство В что в является элементом.

то есть

∃   В : ты е В   , ∀ ты

Векторы, определенные как кортежи скаляров

Скаляр, определяемый в наиболее общем виде, представляет собой элемент поля Ф (например р и С ), где поле представляет собой просто набор, удовлетворяющий аксиомам сложения и умножения. Например, любое действительное число (являющееся очевидным элементом множества действительных чисел р ) является скаляром.

Мы знаем, что мы можем записать векторы как н -наборы скаляров.

Вектор ш как элемент векторного пространства р н , можно записать в терминах скаляров как элементы поля действительных чисел р .

ш "=" [ Икс 1 Икс 2 . . . Икс н ]

где Икс я е р

Вопрос :

Учитывая вектор ты как элемент векторного пространства Ф н , всегда ли можно найти н -кортеж скаляров как элементов некоторого поля Ф представлять ты к? Спросил более официально:

Данный ты   е Ф н , мы можем сказать ∃   Т : ты ≅ Т

где Т какой-то произвольный н -кортеж : Т "=" ( Икс 1 , Икс 2 , . . . Икс н ) и где Икс я е Ф ?

Проще говоря: существует ли вектор, который нельзя записать в виде кортежа своих скаляров?

Этот ответ на этот вопрос может быть до безобразия очевидным (может быть, настолько очевидным, что это все равно, что спросить, можем ли мы написать число в терминах числа), и в этом случае я прошу прощения, или это может быть правильный вопрос.

Возможно, причина, по которой я спрашиваю, может быть более ясной, заключается в попытке определить векторы в метрических или топологических пространствах, т.е. как это определение вектора изменится в высших математических пространствах. Вот о чем я пытаюсь думать. Я понимаю, что на самом деле я спрашивал только об определении векторов как кортежей скаляров конкретно в векторных пространствах, но я только что добавил этот последний бит, чтобы вы могли видеть, откуда я пришел.

Что значит Ф н значит для тебя?
Это верно. Сначала вы должны указать основу для вашего векторного пространства. После этого вы можете записать свой вектор в терминах основы, а коэффициенты в этом выражении являются элементами вектора, который вы называете Т .
@CaptainLama Любое абстрактное векторное пространство
Обратите внимание, что это означает, что ты может быть представлен в виде вектора несколькими способами. Представление зависит от выбора базиса.
Векторное пространство может иметь бесконечные измерения. У него все еще может быть базис, но может потребоваться линейная комбинация бесконечного множества базисных векторов для создания произвольного вектора. ты в этом векторном пространстве. Является (бесконечно длинным) списком коэффициентов этих базисных векторов " н -кортеж» в соответствии с вашим значением этого термина? (Я не буду жаловаться, если ответ «да», но если «нет», то могут быть другие последствия.)
@DavidK Да. Я бы сказал, что, основываясь на том, что я знаю о кортежах, это будет кортеж. Однако мне любопытно, каковы будут последствия, если я скажу «Нет», и правильный ли мой ответ «Да»?
Я думаю, что "да" в порядке. Я просто хотел проверить. Если бы вы действительно хотели, чтобы кортеж имел только конечное число членов, то я думаю, что это сработало бы только для конечномерных векторных пространств (которых по-прежнему много векторных пространств).

Ответы (2)

Дело в том, что по определению Ф н это набор н -uple ( Икс 1 , … , Икс н ) с Икс я е Ф . Это само определение символа Ф н . И действительно Ф н векторное пространство над Ф .

Теперь, если вы начнете с «абстрактного» векторного пространства В , то вы хотите доказать, что В изоморфен Ф н для некоторых н (что является размерностью В ).

Тогда теорема состоит в том, что каждое конечномерное векторное пространство имеет базис : семейство (здесь конечное) ( е 1 , … , е н ) векторов таких, что каждый вектор в можно написать в "=" ∑ я Икс я е я уникальным образом. Это определяет биекцию В → Ф н который, как легко видеть, является изоморфизмом векторного пространства.

Обратите внимание, что это не канонично: выбор другого базиса дает другой изоморфизм В → Ф н .

Также обратите внимание, что для некоторых пространств (пространств бесконечной размерности) вам придется учитывать бесконечное количество координат (но это, вероятно, вас не касается).

Это немного вводит в заблуждение: хотя у каждого векторного пространства есть базис, этот базис может не быть конечным! Например, рассмотреть р -векторное пространство В всех функций ф : р → р . Нет возможности просмотреть элемент В как конечный набор вещественных чисел.
Вот почему я написал "здесь конечно". Я отредактировал, чтобы настаивать на этом.

Позволять В быть векторным пространством размерности н над Ф . Позволять { в 1 , ⋯ , в н } быть основой для В . Позволять ты е В . Поскольку в формируют основу, есть скаляры а 1 , ⋯ , а н е Ф такой, что ты "=" а 1 в 1 + ⋯ + а н в н . Позволять Т быть кортежами ( а 1 , ⋯ , а н ) затем Т представляет собой представление ты как кортеж.

Обратите внимание, что это доказательство требует, чтобы вы согласились с существованием баз. В случае конечномерного пространства векторов нетрудно доказать существование базисов. Для бесконечномерных векторных пространств вы можете доказать существование базисов, используя лемму Цорна.
Существует ли вектор, который нельзя записать в виде кортежа скаляров?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v