Векторные пространства и группы

Я только что закончил курс линейной алгебры. Я студент-физик и не планирую посещать курс абстрактной алгебры. Тем не менее, я немного читал об этом.

Насколько я понимаю, векторное пространство над полем F — это множество V вместе с двумя операциями, скалярным умножением (*) и векторным сложением (+), которые удовлетворяют следующим условиям:

  1. Ассоциативность сложения векторов... ты + ( в + ж ) "=" ( ты + в ) + ж
  2. Коммутативность сложения векторов... ты + в "=" в + ты
  3. Идентификационный элемент векторного сложения... ты + 0 "=" ты
  4. Обратный элемент сложения векторов... ты + ( − ты ) "=" 0
  5. Тождественный элемент скалярного умножения... 1 * ты "=" ты
  6. Дистрибутивность скалярного умножения... а * ( ты + в ) "=" а * ты + а * в
  7. Закрытие... Если ты , в находятся в В , с * ты + г * в также в В .

Группа – это набор г вместе с операцией ( * ) удовлетворяющие следующему:

  1. Закрытие... Если г , час находятся в г , затем г * час также в г .
  2. Ассоциативность... ( г * час ) * Дж "=" г * ( час * Дж )
  3. Элемент идентификации ... г * е "=" е * г "=" г
  4. Для каждого г в г , Существует час такой, что г * час "=" е .

У меня есть несколько вопросов:

  1. Верны ли мои определения векторных пространств и групп?
  2. В чем ключевое различие между векторными пространствами и группами? Мне они кажутся очень похожими.
  3. Мой профессор линейной алгебры сказал мне, что удобно думать о векторах как о стрелках в R ^ 3 с направлением и величиной. Он сказал, что векторы — гораздо более абстрактное и общее понятие. Что же такое векторы на самом деле?
  4. Существуют ли множества, которые одновременно являются векторным пространством и группой?

Заранее большое спасибо!

Векторное пространство — это абелева группа с действием поля. Таким образом, каждое векторное пространство также является группой. Но не всякая группа может быть векторным пространством, например, если она не абелева.
Вам понадобится, по крайней мере , немного достаточно продвинутой линейной алгебры и немного теории групп Ли в физике позже, так что ваше решение не изучать абстрактную алгебру может быть плохой идеей. В моем университете для студента-физика было обязательным пройти хотя бы базовый курс теории групп и колец.
(3) Это сложный вопрос, потому что векторные пространства используются во многих случаях. Это обобщение, которое просто возникает в математике достаточно, чтобы называть их одним и тем же и изучать их, но трудно дать визуальное представление о том, что происходит, поскольку в некоторых областях нет визуальной интуиции.
@Timbuc Спасибо за совет. В моем университете (Университет Иллинойса в Урбане-Шампейне) студенты-физики не обязаны изучать абстрактную алгебру. Тем не менее, для нас обязательным является изучение линейной алгебры и комплексного анализа. Остальное зависит от нас, что мы возьмем.
Нет, не все абелевы группы являются векторными пространствами. Целые числа являются абелевой группой, но не векторным пространством.
Совет Тимбука не об обязательности, а о том, что вы хотите делать, если хотите изучать физику. :)
Векторное пространство — это не просто особый вид группы. Действие скалярного поля является дополнительной структурой. Не всякая абелева группа может быть векторным пространством. Однако, если вы немного измените определение, вы получите близкородственную вещь, называемую модулем. Модуль — это абелева группа с действием кольца. В основном это векторное пространство, где вы не можете делить на скаляры. Каждая абелева группа канонически является модулем над кольцом целых чисел.
@ Коди, по словам моих друзей (лучшие из которых все физики), невозможно пройти теорию элементарных частиц без групп Ли ... но, как упомянул Томас: мой комментарий был не об обязательном, а о том, что вам нужно будет справиться с учебой.
@Timbuc Еще раз спасибо. Интересно, почему это не является обязательным в моем университете, если так важно понимать физику верхнего уровня. У меня есть несколько друзей, которые изучают физику в других университетах, и абстрактная алгебра для них тоже не обязательна. Может быть, это нужно изменить?
@зикгуризм Я вижу. С векторным пространством у вас есть поле F и пространство V. С группой у вас есть только множество G. Это то, что вы говорите, является основным отличием?
Обратите внимание, когда люди говорят, что векторные пространства являются абелевыми группами, они имеют в виду оператор + . Имя оператора в теории групп имеет тенденцию использовать символы умножения в качестве операторов ( * , ⋅ и т. д.), поскольку группы могут быть некоммутативными, и + обычно коммутативен.)
@ Коди, я не могу сказать. Я учусь в аспирантуре по математике, и я знаю только, когда мои друзья-физики подошли ко мне со слезами на глазах и попросили помочь понять кое-что в теории линейных операторов (линейная алгебра) и группах Ли (конкретные группы матриц). Возможно, курс в вашем университете включает краткое введение в эти вещи, чтобы иметь возможность работать с ними.
@Cody: в этом разница между абелевыми группами и векторными пространствами. Разница между абелевыми группами и всеми группами довольно велика. Абелевы группы, конечно, представляют собой группы особого рода.
@Timbuc: согласен, что абстрактная алгебра в конечном итоге необходима для физики. Но в основном на аспирантуре. Студент бакалавриата по физике, вероятно, сможет проскользнуть и без него. Хотя соглашусь, что это было бы полезно.
@Cody: мой любимый текст по абстрактной алгебре, наверное, Джейкобсон. Многим людям нравится Ланг. Думмит и фут для более элементарного выбора. Но это все учебники по математике. Для физиков есть Джорджи, Глэшоу и Корнуолл. Я бы начал с Джорджи, наверное.

Ответы (1)

  1. Да. Но вам не нужно добавлять замыкание в эти определения Для групп, например, обратите внимание, что операция — это, прежде всего, функция ⋅ : г × г → г . И что его кодовый домен г сам.

  2. Векторное пространство – это 4 − кортеж ( В , К , + , ⋅ ) , где

    + : В 2 → В и ⋅ : К × В → В
    являются операции. Структура векторного пространства намного богаче, чем у группы. В векторном пространстве есть две операции и лежащее в их основе поле, в то время как группа — это только набор с одной операцией (удовлетворяющей условия, которые вы хорошо знаете). Учитывая векторное пространство ( В , К , + , ⋅ ) , ( В , + ) всегда является абелевой группой. Отвечая 4. вдоль, учитывая поле К , К н является одновременно векторным полем и аддитивной группой по отношению к операциям К .

  3. Векторы являются элементами векторного пространства. Это просто имя. Примеры векторных пространств:

    • Многочлены со степенью меньше или равной н , с действительными коэффициентами: п н ( р ) .
    • Все непрерывные функции из [ 0 , 1 ] к р : С 0 ( [ 0 , 1 ] , р )
    • р н сам.
    • Матрицы с вещественными коэффициентами: М н × м ( р ) .

и многое другое. я использовал р для конкретности вообще можно взять произвольное поле (для многочленов, матриц и т.д.). Таким образом, вектор может быть стрелкой, функцией, полиномом, матрицей...

Векторные пространства и группы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v