Если P1,P2,P3P1,P2,P3P_1,P_2,P_3 лежат на окружности x2+y2=1x2+y2=1x^2+y^2=1, то докажите, что P4P4P_4 лежит на окружности.

Позволять$P_2'$быть конечной точкой$\frac{3}{2} \overrightarrow{OP_2}$и$P_3'$быть конечной точкой$\frac{3}{2} \overrightarrow{OP_3}$. Уравнение$\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_3} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP_2}$подразумевает треугольник$\Delta OP_3P_2'$имеет длины сторон$1$,$1$, и$3/2$, с$OP_i$являются единичными векторами для$i = 1,2,3$. Этот треугольник имеет угол$\angle P_3OP_2'$между сторонами длины$1$и$3/2$.

Второе уравнение$\overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_4} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP_3}$подразумевает треугольник$\Delta OP_2P_3'$имеет длины сторон$1$,$||\overrightarrow{OP_4}||$и$3/2$. Этот треугольник имеет угол$\angle P_3'OP_2$между сторонами длины$1$и$3/2$.

Однако с тех пор$P_3$и$P_3'$лежат на одном луче от начала координат, и так$P_2$и$P_2'$, мы знаем$\angle P_3'OP_2 \cong \angle P_3OP_2'$. Итак, треугольники$\Delta OP_2P_3'$и$\Delta OP_3P_2'$конгруэнтны, так как у них две стороны одинаковой длины с равным углом между ними. Таким образом,$||\overrightarrow{OP_4}||$должна быть равна длине оставшейся стороны$\Delta OP_2P_3'$, следовательно$||\overrightarrow{OP_4}|| = 1$, что подразумевает$P_4$находится на единичной окружности.