Периметр равностороннего треугольника, проведенного относительно квадрата.

Question

Периметр равностороннего треугольника, проведенного относительно квадрата.

геометрия
Математика
аналитическая геометрия

Фаик Ирфан

Вот вопрос, который был задан на Международном математическом конкурсе кенгуру 2016 года . Вопрос звучит так:

Если периметр квадрата на рисунке равен 4 единицам, то чему равен периметр равностороннего треугольника?

Что я сделал:

Ну, я попробовал кое-что очень наивное, и это было предположение, что равносторонний треугольник пересекает верхнюю сторону квадрата в его середине. Отсюда получаем следующий результат.

По теореме Пифагора

\bar{А Б} "=" \bar{М С} "=" \sqrt{{\bar{Б С}}^{2} + {\bar{Б М}}^{2}} "=" \sqrt{{(1)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} "=" \frac{\sqrt{5}}{2}

$\overline{AB} = \overline{MC} = \sqrt{\overline{BC}^2 + \overline{BM}^2} = \sqrt{\left(1\right)^2 + \left(\frac12\right)^2} = \frac{\sqrt5}{2}$

Итак, периметр треугольника равен:

\begin{aligned} п & "=" \bar{А Ф} + \bar{Ф М} + \bar{М С} + \bar{С Д} + \bar{Д Е} + \bar{Е А} \\ "=" \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 1 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \\ "=" \frac{5}{2} + \sqrt{5} \end{aligned}

$\begin{align} P&=\overline{AF} +\overline{FM}+\overline{MC}+\overline{CD}+\overline{DE}+\overline{EA}\\ &= \frac12+\frac12+\frac{\sqrt5}2+1+\frac12+\frac{\sqrt5}2\\ &= \frac52+\sqrt5 \end{align}$

Однако это неправильный ответ, и я знаю, что проблема заключается в предположении, что $M$ это середина $\overline{AB}$ . Итак, каков правильный метод и ответ?

Спасибо за внимание.

Ответы (5)

Периметр равностороннего треугольника, проведенного относительно квадрата.

Сейед · Answer 1

Нам нужно только знать, что $\angle ABC=30°$ , остальное просто прямо вперед.

Роберт З. · Answer 2

$M$ НЕ является серединой $AB$ . Обратите внимание, что угол $\angle MCB$ равно $90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$ , поэтому

| М Б | "=" | Б С | загар (30^{\circ}) "=" \frac{1}{\sqrt{3}} .

$|MB|=|BC|\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}.$ Более того

| E D | = | M B |

$|ED|=|MB|$ (почему?). Вы можете взять это отсюда?

Жаль, что я не обновился, прежде чем публиковать свой ответ, возможно, я отдал слишком много!

Заикание Тартальи · Answer 3

Обратите внимание, что угол AED равен $\frac{\pi}{3}$ радианы (или 60 градусов, если хотите). Так как сторона, противоположная этому углу, $1$ , и $\tan(\frac{\pi}{3})$ является $\sqrt{3}$ , мы знаем, что длина стороны ED должна быть $\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Треугольник MBC подобен треугольнику EAD, поэтому сторона MB также равна $\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Вы можете использовать теорему Пифагора и тот факт, что каждая сторона квадрата равна 1, чтобы найти длины всех необходимых оставшихся сторон.

Хороший ответ. Кстати, мне нравится ваше имя пользователя.

Чезарео · Answer 4

Дан горизонтальный отрезок длиной $L$ и две строки

{\begin{cases} у_{1} "=" Икс загар (\frac{π}{2}) \\ у_{2} "=" (л - Икс) загар (\frac{π}{3}) \end{cases}

$\begin{cases} y_1 = x \tan(\frac{\pi}{2})\\ y_2 = (L-x)\tan(\frac{\pi}{3}) \end{cases}$

их пересечение находится на

у_{1} "=" у_{2} \Rightarrow Икс "=" \frac{загар (\frac{π}{3}) л}{загар (\frac{π}{3}) + загар (\frac{π}{2})}

$y_1=y_2\Rightarrow x = \frac{\tan(\frac{\pi}{3})L}{\tan(\frac{\pi}{3})+\tan(\frac{\pi}{2})}$

значит, у равностороннего треугольника периметр $3L$ а у квадрата есть периметр $4 x = \frac{4L\tan(\frac{\pi}{3})}{\tan(\frac{\pi}{3})+\tan(\frac{\pi}{2})} = \frac{4L\sqrt3}{\sqrt 3+1}$

фаррухота · Answer 5

Ссылаясь на рисунок, пусть $x$ и $h$ - половина стороны и высота равностороннего треугольника, соответственно:

$\hspace{3cm}$

Для равностороннего треугольника:

{час}^{2} + {Икс}^{2} "=" (2 Икс)^{2} \Rightarrow {час}^{2} "=" 3 {Икс}^{2} \Rightarrow час "=" Икс \sqrt{3} .

$h^2+x^2=(2x)^2 \Rightarrow h^2=3x^2 \Rightarrow h=x\sqrt{3}.$

Из подобия треугольников:

\frac{час}{4} "=" \frac{Икс}{2 Икс - 4} \Rightarrow \frac{Икс \sqrt{3}}{4} "=" \frac{Икс}{2 (Икс - 2)} \Rightarrow Икс "=" \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \Rightarrow п "=" 6 Икс "=" 4 \sqrt{3} + 12.

$\frac{h}{4}=\frac{x}{2x-4} \Rightarrow \frac{x\sqrt{3}}{4}=\frac{x}{2(x-2)} \Rightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{3}+2 \Rightarrow P=6x=4\sqrt{3}+12.$

Приложение: Было указано, что периметр квадрата равен $4$ , а не сбоку. Значит, ответ нужно разделить на $4$ получить $3+\sqrt{3}$ .

Периметр равностороннего треугольника, проведенного относительно квадрата.

Фаик Ирфан

Ответы (5)

Сейед

Роберт З.

Заикание Тартальи

Заикание Тартальи

Роберт З.

Чезарео

фаррухота

Найдите плоскость на расстоянии 333 от 3x−y−z=03x−y−z=03x-yz = 0

Если P1,P2,P3P1,P2,P3P_1,P_2,P_3 лежат на окружности x2+y2=1x2+y2=1x^2+y^2=1, то докажите, что P4P4P_4 лежит на окружности.

Свойство эллипсов, включающих нормали в концах фокальной хорды и в середине этой хорды

Карты R3R3\mathbb{R}^3, коммутирующие с перекрестным произведением

Направляющий косинус трех взаимно перпендикулярных прямых в 3D

Данное геометрическое место является окружностью, докажите, что две прямые перпендикулярны

Докажите, что асимптотами гиперболы являются ее касательные в бесконечно удаленных точках.

Решение задачи по координатной геометрии

Является ли пересечение двух клиновидных областей также клиновидным?

Для двух различных пересекающихся окружностей длина той хорды большей окружности, которая делится пополам меньшей окружностью, равна?