Связь между алгеброй Ли Лоренца и кривизной

Позвольте мне попытаться объяснить секрет vox populi .

Если у вас есть две сферы,$S^2$, и определить вектор в точке$p$(вектор можно представить как стрелку), вектор не лежит на сфере!. На самом деле набор всех возможных векторов в этой точке порождает (или живет) в плоском и касательном пространстве к сфере в точке$p$, обозначаемый как$T_p S^2$.

Первое примечание: вкл.$T_p S^2$вы можете определить евклидово действие. Если ваш коллектор не$S^2$но пространство-время, вы можете определить действие Лоренца на касательном пространстве. Это действие евклидовой (лоренцевой) группы является локальным, т. к. определено для каждой точки$p\in\mathcal{M}$.

Когда люди используют параллельный транспорт, вектор перемещается из касательного пространства в другое, это движение достигается путем определения отношения (или соединения) между касательными пространствами... если вы хотите, чтобы это отношение говорило вам, как касательные пространства склеены вместе .

Второе примечание: связь сообщает вам, как перейти от касательного пространства к другому, и связывает с ними все евклидовы (лоренцевы) действия.

Кривизна измеряет, возможно ли определить глобальную евклидову (лоренцеву) структуру на вашем многообразии. Если кривизны нет, то можно!... если кривизна не исчезает, вам не повезло. Итак, каким-то образом кривизна говорит вам, можно ли «расширить» локальную структуру вашего многообразия, чтобы она стала глобальной.

Третье примечание: кривизна связана с вашей локальной евклидовой или лоренцевской структурой.

---

Теперь немного веселья!!! (Я ограничусь Лоренцем... надоело писать Евклидово -Лоренц-)

Группа Лоренца определяется набором образующих. Можно найти неэквивалентные наборы образующих (это связано с различными представлениями группы Ли).

Конкретный набор образующих группы Лоренца задается коммутатором гамма-матриц

$$\mathbb{J}^{ab} \simeq \left[\gamma^a,\gamma^b\right].$$

Вы можете явно показать, что те$\mathbb{J}$удовлетворяют алгебре Лоренца.

Наконец, как и в любой локальной (или калибровочной) теории, определяется ковариантная производная

$$\mathcal{D}_\mu = \partial_\mu + \Omega_\mu,$$ с $\Omega = \frac{1}{2}(\omega_\mu)_{ab}\mathbb{J}^{ab}$.

Рассчитав коммутатор вы получите желаемый результат!!!

Это связь между кривизной и группой Лоренца ;-)