Вариация относительно RabcdRabcdR_{abcd}? Как вычислить∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\partial R}{\partial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

В последнее время меня заинтересовала формула энтропии Вальда. В этом формализме имеется тензор п а б с г "=" ∂ л ∂ р а б с г .

Среди некоторых документов они упоминают п а б с г , описывающий его симметричные антисимметричные свойства. Но я хочу знать явную форму п в определенных случаях.

Известны результаты действия Эйнштейна-Гильберта (они упоминают, п а б с г "=" 1 2 ( г а с г б г − г а г г б с ) для случая Эйнштейна-Гильберта), поэтому я предполагаю, что

∂ р ∂ р а б с г "=" 1 2 ( г а с г б г − г а г г б с ) ( ? )
где г — обычная симметричная метрика, р а б с г – тензор кривизны Римана, а р является скаляром Риччи.

Вроде лечат р а б с г и г а б независимо, так что мой первый тест - разложить р "=" г а с г б г р а б с г , и попробуйте вычислить ∂ р п д р с ∂ р а б с г , из симметричных аргументов

∂ р а б с г ∂ р п д р с "=" дельта а б п д дельта с г р с + дельта с г п д дельта а б р с
Но подключив это к р , я получаю несколько иной ответ, показанный выше.

Я делаю что-то неправильно?

Если вы сталкивались с такой производной, есть ли у вас какие-либо подсказки или советы для такого рода алгебраических вычислений?

Привет @phy_math: Это из книги Уолда по GR? Какая точная ссылка? Какая страница?
@Qmechanic, это взято из статьи Уолда, посвященной BlackHoles. Я часто вижу такие уравнения в модифицированной гравитации, ф ( р ) и гравитация Гаусса-Бонне, теории высших производных и т. д.

Ответы (1)

Во-первых, обратите внимание, что

р "=" р а с г а с "=" р а б с г г а с г б г .
Антисимметрии р подразумевать
р а б с г ( г а с г б г + г а г г б с ) "=" 0 , р "=" р а б с г ( ( 1 − к ) г а с г б г − к г а г г б с )
для любой константы к . С ∂ р ∂ р а б с г должны быть антисимметричными при обмене а с б или с с г , это коэффициент, полученный выбором к так что 1 − к "=" к , т.е. к "=" 1 2 . Следовательно
∂ р р а б с г "=" 1 2 ( г а с г б г − г а г г б с ) .
Обратите внимание а б с г → с г а б симметрия.

спасибо !, я заметил, что симметричный аргумент работает для вариации р , но как насчет р а б р а б случай?, я сделаю это как другой пост.
@phy_math Подсказка: если Икс а б с г е ф "=" ∂ р а б ∂ р с г е ф затем ∂ ( р а б р а б ) ∂ р с г е ф "=" 2 р а б Икс а б с г е ф .
с вашим комментарием я сделал сообщение physics.stackexchange.com/questions/301787/… , но я все еще немного сбиваюсь с толку, делая термины симметричными антисимметричными для определенных пар.
Симметрии: р Икс у "=" − р у Икс , ⟨ р Икс у в , ж ⟩ "=" − ⟨ р Икс у ж , в ⟩ , р Икс у г + р у г Икс + р г Икс у , ⟨ р Икс у в , ж ⟩ "=" ⟨ р в ж Икс , у ⟩ где все векторы являются элементами Т п М .
Вариация относительно RabcdRabcdR_{abcd}? Как вычислить∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\partial R}{\partial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v