Связь между уравнением неразрывности и волновым уравнением

Волновое уравнение можно записать в виде$\nabla_i\nabla^i\varphi = 0$где$\nabla$— связность Леви-Чивиты в пространстве Минковского,$\varphi$не обязательно должен быть лоренц-инвариантным.$\partial_i\partial^i\varphi = 0$является уравнением Лапласа как в пространстве Минковского, так и в евклидовом пространстве, поскольку обычные частные производные не подчиняются метрике.

В (псевдо)римановой геометрии ковариантная производная$\nabla_i$заменяет частичные$\partial_i$. Оператор Лапласа -Бельтрами

$$\Delta \triangleq \nabla^i\nabla_i$$ является общим обобщением как Даламбера, так и Лапласа, $$\Delta \varphi = 0$$ есть уравнение Лапласа-Бельтрами.

Затем ваше наблюдение обобщается, говоря, что для скалярного поля исчезающий оператор Лапласа-Бельтрами совпадает с контравариантным градиентом без дивергенции. Это универсально справедливо, поскольку

$$\Delta \varphi = \nabla^i\nabla_i\varphi = g^{ij}\nabla_i\nabla_j\varphi= \nabla_i\nabla^i\varphi$$ Это не зависит от метрической или системы координат. Однако точный геометрический смысл этого зависит от метрики.

В евклидовых пространствах это означает, что функция является гармонической тогда и только тогда, когда она имеет градиент без расходимости, поскольку оператор Лапласа-Бельтрами - это просто лапласиан.

В пространстве Минковского оператор Лапласа-Бельтрами является оператором Даламбера, а уравнение Лапласа-Бельтрами становится волновым уравнением. В пространстве Минковского ковариантные производные - это обычные частные производные, как и в евклидовом пространстве, поскольку нет кривизны, из-за чего символы Кристоффеля исчезают. Кроме того, для скаляров

$$\nabla_i \varphi = (d\varphi)_i = \partial_i\varphi$$ верно по всем показателям. Однако контравариантная производная $\nabla^i\varphi$не является обычным вектором градиента, поскольку повышение индекса зависит от метрики. Поэтому градиент более естественно рассматривать как ковектор или 1-форму. Геометрически векторы градиента Минковского являются отражением во времени того, какими были бы векторы евклидова градиента. Однако у меня нет хорошей интуитивной картины контравариантных производных и их расходимостей в общих неевклидовых пространствах.

Обратите внимание, что для

$$\varphi \triangleq t^2 + x^2$$ в евклидовом пространстве $$\nabla_i\nabla^i\varphi = 4$$ находясь в пространстве Минковского $$\nabla_i\nabla^i\varphi = 0$$ что делает его решением уравнения, даже если оно не является инвариантом Лоренца.

---

Общее векторное поле$J^i$может удовлетворить$\nabla_i J^i = 0$, но по-прежнему имеют ненулевой завиток или, в более общем смысле,$\nabla_{[i} J_{j]} \neq 0$. Такое поле не является градиентом скалярного поля. Так по крайней мере$\nabla_{[i} J_{j]} = 0$требуется. Лемма Пуанкаре говорит, что этого достаточно для полей на стягиваемых подмножествах евклидова пространства.