Всегда ли изменение лагранжиана является полной производной от преобразований симметрии действия?

Позволять Ом ⊂ р н и рассмотрим произвольный функционал

С : С к ( Ом ) → р
то местный,
ф ↦ С ∫ Ом л ( ф , Д ф , … , Д к ф )
для л некоторый н -форма, принимающая значения в к -реактивное пространство Дж к ф . Мы можем позвонить С функционал действия и л связанный с ним лагранжиан (хотя мы и не предполагаем, что дельта С [ ф ] "=" 0 , т. е. мы работаем вне оболочки).

Обычно обсуждаются два понятия симметрии:

  1. лагранжевы симметрии, т. е. преобразования вида ф → ф ′ которые удовлетворяют
    л − л ′ "=" д Θ
    для некоторых ( н − 1 ) -форма Θ , и где л ′ ( Дж к ф ) "=" л ( Дж к ф ′ ) .
  2. Симметрии действия, т. е. преобразования вида ф → ф ′ которые удовлетворяют
    С − С ′ "=" 0
    где С ′ [ ф ] "=" С [ ф ′ ] .

Если предположить, что граничные условия таковы, что Θ | ∂ Ом "=" 0 , то ясно, что лагранжевы симметрии также являются симметриями действия.

Если мы предположим, что Ом является «достаточно хорошим» (например, звездообразным), то я считаю, что любая симметрия действия также является лагранжевой симметрией, хотя я хотел бы иметь более точное утверждение об этом факте. Другими словами, мой вопрос

Эквивалентны ли эти два понятия симметрии? При каких условиях?

Более того, насколько мы можем ослабить предположения? Например, можем ли мы взять Ом быть односвязным, а не звездообразным? Можем ли мы взять ф иметь только слабые производные вместо сильных производных?

NB: Я рассматриваю только вертикальные преобразования.

Ответы (1)

  1. Определение ОП 1 часто называют квазисимметрией . 1 (QS) лагранжевой плотности л , или, что то же самое, СМО лагранжиана н -форма

    л   "="   л   д Икс 0 ∧ … ∧ д Икс н − 1 .

  2. Определение OP 2 следует смягчить до квазисимметрии (QS) действия.

    С Ом   "="   ∫ Ом л ,
    где действие может изменяться с граничными условиями. [Отчасти это связано с тем, что вариации Нётер не обязательно удовлетворяют граничным условиям, которые мы обычно налагаем при выводе уравнений Эйлера-Лагранжа (EL)].

  3. Следующее следствие тривиально:

    СМО лагранжевой плотности л также является СМО действия С Ом .

    главный вопрос ОП

    А как насчет обратного направления?

    Это хороший вопрос! Предположим, что мы знаем, что преобразование является СМО для С Ом по крайней мере для одной фиксированной области интегрирования Ом . Тогда еще можно заключить, что это СМО лагранжевой плотности л если

    • (i) лагранжева плотность л является местным и

    • (ii) если пространство конфигурации поля сжимаемо .

    Это связано с алгебраической леммой Пуанкаре, ср. Ссылка 1. Обратите внимание, в частности, что возможные топологические препятствия живут в пространстве конфигурации поля, а не в области пространства-времени. Ом .

  4. Пример. Позволять

    л   "="   л   д т , л   "="   1 2 ( − я г − 1 г ˙ ) 2   "="   1 2 θ ˙ 2 , Ом   "="   [ т я , т ф ] ,
    где
    г   "="   е я θ   е   U ( 1 )   ≅   С 1
    является U ( 1 ) -оценивается с | г | "=" 1 . Здесь θ е р многозначная угловая переменная θ ∼ θ + 2 π , и, следовательно, не является глобально четко определенной координатой как таковой. Обратите внимание, в частности, что пространство конфигурации поля С 1 не является стягиваемым.

    Рассмотрим бесконечно малое преобразование

    дельта г   "="   я ε т   г , дельта θ   "="   − я г − 1 дельта г   "="   ε т ,
    где ε это т -независимый инфинитезимальный параметр. Преобразование не является СМО лагранжиана
    дельта л   "="   ε θ ˙   "="   ε ( − я г − 1 г ˙ ) ,
    потому что его нельзя записать как полную производную по времени, используя только хорошие координаты. Но изменение действия
    дельта С Ом   "="   ε ( θ ( т ф ) − θ ( т я ) )
    который является корректно определенным граничным интегралом, который не зависит от θ -ветвь. Таким образом, трансформация является СМО действия. Соответствующий заряд Нётер
    Вопрос   "="   т θ ˙ − θ
    не хватает хороших координат.

Использованная литература:

  1. Г. Барнич, Ф. Брандт и М. Хенно, Локальные БРСТ-когомологии в калибровочных теориях, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .

--

1 В этом ответе мы для простоты будем рассматривать только бесконечно малые вариации/преобразования.

Всегда ли изменение лагранжиана является полной производной от преобразований симметрии действия?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v