Суммарная энергия в реономных системах

Question

Суммарная энергия в реономных системах

ДС08

Я читаю « Вариационные принципы механики Ланцоша », стр. 124, и после обсуждения того, как для склерономических систем мы получаем

\begin{matrix} (53.12) & \sum_{я "=" 1}^{н} п_{я} {\dot{д}}_{я} - л "=" с о н с т . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^{n} p_i\dot q_i - L = const.\tag{53.12}$

Для реономических систем установлено, что

\begin{matrix} (53.22) & дельта л "=" д л - \frac{\partial л}{\partial т} д т "=" ϵ (\dot{л} - \frac{\partial л}{\partial т}) \end{matrix}

$\delta L=dL-\frac{\partial L}{\partial t}dt = \epsilon\left(\dot L -\frac{\partial L}{\partial t}\right)\tag{53.22}$ где

ϵ = d t

$\epsilon=dt$ , что приводит к

\begin{matrix} (53.23) & {[\sum_{я "=" 1}^{н} п_{я} {\dot{д}}_{я} - л]}_{т_{1}}^{т_{2}} "=" - \int_{т_{1}}^{т_{2}} \frac{\partial л}{\partial т} д т \end{matrix}

$\left[\sum_{i=1}^{n} p_i\dot q_i - L\right]^{t_2}_{t_1} = -\int^{t_2}_{t_1} \frac{\partial L}{\partial t} dt\tag{53.23}$

Однако, когда я делаю вариант

дельта \int_{т_{1}}^{т_{2}} л д т "=" ϵ \int_{т_{1}}^{т_{2}} (\dot{л} - \frac{\partial л}{\partial т}) д т "=" ϵ л |_{т_{1}}^{т_{2}} - \int_{т_{1}}^{т_{2}} \frac{\partial л}{\partial т} д т

$\delta\int_{t_1}^{t_2} L~dt= \epsilon\int_{t_1}^{t_2} \left(\dot L -\frac{\partial L}{\partial t}\right)dt = \epsilon L|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial t}dt$

я получаю дополнительную $\epsilon L|_{t_1}^{t_2}$ срок? Любое понимание того, чего не хватает, будет очень признательно!

Qмеханик

Связано: physics.stackexchange.com/q/94381/2451 и ссылки в нем.

ДС08

Этот вопрос относится к склерономным (независимым от времени) системам, в которых мы получаем сохранение энергии. Этот вопрос касается получения реономического эквивалента

Майк Стоун

Разве мы не должны сделать

ϵ

$\epsilon$ зависит от

t

$t$ и исчезать в конечных точках?

ДС08

Это для вывода общих уравнений движения из

δ \int L d t = 0

$\delta \int Ldt =0$

Ответы (1)

Суммарная энергия в реономных системах

Связано: physics.stackexchange.com/q/94381/2451 и ссылки в нем.
Этот вопрос относится к склерономным (независимым от времени) системам, в которых мы получаем сохранение энергии. Этот вопрос касается получения реономического эквивалента
Разве мы не должны сделать $\epsilon$ зависит от $t$ и исчезать в конечных точках?
Это для вывода общих уравнений движения из $\delta \int Ldt =0$

Qмеханик · Answer 1

Итак, Ланцош использует бесконечно малые преобразования

\begin{matrix} (А'') & т^{'} - т "=" дельта т "=" 0, (без горизонтального отклонения) \end{matrix}

$t^{\prime} - t ~=:~\delta t ~=~0, \qquad \text{(no horizontal variation)}\tag{A''}$

\begin{matrix} (Б'') & д^{' я} (т) - д^{я} (т) "=" {дельта}_{0} д^{я} "=" ϵ \dot{д}, (вертикальная вариация) \end{matrix}

$q^{\prime i}(t) - q^i(t)~=:~\delta_0 q^i ~=~\epsilon\dot{q}, \qquad \text{(vertical variation)}\tag{B''}$

\begin{matrix} (С'') & д^{' я} (т^{'}) - д^{я} (т) "=" дельта д^{я} "=" ϵ \dot{д} . (полная вариация), \end{matrix}

$q^{\prime i}(t^{\prime}) - q^i(t)~=:~\delta q^i ~=~\epsilon\dot{q}. \qquad \text{(full variation)},\tag{C''}$

ср. экв. (53.1). В разделе V моего ответа Phys.SE объясняется, что

\begin{matrix} (Д'') & д (п_{я} ϵ {\dot{д}}^{я}) "=" д (п_{я} {дельта}_{0} д^{я}) \approx {дельта}_{0} л "=" \frac{\partial л}{\partial д^{я}} {дельта}_{0} д^{я} + \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}^{я}} {дельта}_{0} {\dot{д}}^{я} "=" ϵ \frac{\partial л}{\partial д^{я}} {\dot{д}}^{я} + ϵ \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}^{я}} {\ddot{д}}^{я} "=" ϵ \frac{д л}{д т} - ϵ \frac{\partial л}{\partial т} . \end{matrix}

$d(p_i\epsilon\dot{q}^i)~=~d(p_i\delta_0q^i)~\approx~\delta_0 L ~=~\frac{\partial L}{\partial q^i }\delta_0 q^i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i }\delta_0 \dot{q}^i ~=~\epsilon\frac{\partial L}{\partial q^i }\dot{q}^i + \epsilon\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i } \ddot{q}^i ~=~ \epsilon\frac{dL}{dt}-\epsilon\frac{\partial L}{\partial t}. \tag{D''}$

Затем теорема Нётер показывает, что предполагаемый голый нётеровский ток, полный нётеровский ток и закон сохранения равны

Дж "=" п_{я} {\dot{д}}^{я},

$j~=~p_i\dot{q}^i,$

Дж "=" п_{я} {\dot{д}}^{я} - л,

$J~=~p_i\dot{q}^i-L,$ и

\frac{д Дж}{д т} \approx - \frac{\partial л}{\partial т},

$\frac{dJ}{dt}~\approx~-\frac{\partial L}{\partial t},$ соответственно,

Так эффективно $\epsilon L|_{t_1}^{t_2}$ термины просто исчезают?
Нет, этот член (который, кстати, уже присутствует в склерономическом случае) приводит к тому, что полный нётеровский ток отличается от голого нётеровского тока.
О, я вижу, что происходит. Левая часть равна $\sum p_i \dot q_i |_{t1}^{t2}$ поэтому мне просто нужно было добавить эти термины в левую часть. Теперь это имеет смысл. Спасибо!

Суммарная энергия в реономных системах

ДС08

Qмеханик

ДС08

Майк Стоун

ДС08

Ответы (1)

Qмеханик

ДС08

Qмеханик

ДС08

Задача с теоремой Нётер для доказательства сохранения энергии

Какова логика, которая приводит к сохранению энергии из временной инвариантности? [дубликат]

Теорема Нётер и закон сохранения энергии в классической механике

Получение сохраняемого количества из лагранжиана [дубликат]

Как можно изменить время, не затрагивая координаты или их производные?

Теорема Нётер и зависящие от времени лагранжианы

Из теоремы Нётер можно ли доказать закон сохранения энергии? [дубликат]

Явная временная зависимость лагранжиана и закона сохранения энергии

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Связь между векторным полем, генератором и скалярным полем в теореме Нётер