Теплопередача между двумя поверхностями

Я собираюсь добавить некоторые математические детали к тому, что сказал Ахметели.

Давайте ограничим обсуждение одним измерением с координатой$x$, то закон Фурье в дифференциальной форме гласит

$$q(x) = -k(x) T'(x)$$ где $q(x)$локальный тепловой поток, $k(x)$- проводимость, а $T(x)$- градиент температуры. Обратите внимание, что закон Фурье показывает, что в данной точке важна производная температуры, но производные функции зависят от значения этой функции в окрестности этой точки, а не только от значения функции в этой конкретной точке. Поэтому (не совсем явный) ответ на ваш вопрос заключается в том, что вам нужны оба $k$в точке, где два материала с разными $k$находятся в контакте. Теперь давайте посмотрим на математику.

Если вы смотрите на точку$x_0$при котором соединяются два материала с разной проводимостью (скажем,$k_a$соответствует$x<x_0$и$k_b$соответствует$x>x_0$, затем$k(x)$имеет скачкообразный разрыв, который можно записать с помощью ступенчатой ​​функции Хевисайда$\theta(x)$;

$$k(x) = (k_b-k_a)\theta(x-x_0) + k_a$$ Что приводит к следующему дифференциальному уравнению: $$q(x) = -[(k_b-k_a)\theta(x-x_0) + k_a] T'(x)$$ Которые вы можете попытаться решить в данном случае. Например, рассмотрим стационарную систему, в которой $q(x) = q_0$является константой и для которой мы хотим определить градиент температуры. Предположим, что эта система состоит из металлических стержней, соединенных в точке $x_0$и чьи конечные точки расположены в $x_0-L$и $x_0+L$соответственно. Кроме того, мы предполагаем, что эти две другие конечные точки поддерживаются при температуре $T_0$В этом случае дифференциальное уравнение, которое мы хотели бы решить для $T(x)$является $$q_0 = -[(k_b-k_a)\theta(x-x_0) + k_a] T'(x)$$ с граничными данными $$T(x_0-L) = T_0,\qquad T(x_0+L) = T_0$$ Дифференциальное уравнение, которое мы хотим решить, можно переписать в виде набора двух уравнений, одно для $x<x_0$и еще один для $x>x_0$; $$q_0 = -k_a T_a'(x), \qquad q_0 = -k_b T_b'(x)$$ Общие решения $$T_a(x) = T_0-\frac{q_0}{k_a} [x-(x_0-L)], \qquad T_b(x) = T_0-\frac{q_0}{k_b} [x-(x_0+L)]$$ и температура везде, кроме $x=x_0$можно записать как $$T(x) = (T_b(x) - T_a(x))\theta(x-x_0) + T_a(x)$$ В частности, обратите внимание на скачок температуры при $x=x_0$; $$T_b(x_0) -T_a(x_0) = q_0 L\left(\frac{1}{k_b}-\frac{1}{k_a}\right)$$ и этот разрыв зависит от обоих $k$значения, а не только значение на определенной стороне. Обратите внимание, что если $k_a = k_b$, разрыв исчезает, как и можно было интуитивно ожидать!

Надеюсь, это поможет! Сообщите мне о любых опечатках.

Ваше здоровье!