Ток в R1R1R{_1} резисторного делителя с конденсатором

Question

Ток в R1R1R{_1} резисторного делителя с конденсатором

Физика
конденсатор
система контроля
схема-анализ
преобразование Лапласа

riccs_0x

Учитывая систему , рассчитать ток в $R_{1}$ ,

р_{1} "=" р_{2} "=" 10 к Ом

$R_{1}=R_{2}=10k\Omega$ и

С "=" 1,2 мю Ф

$C=1.2\mu F$ . Ну, у меня есть два подхода.

Когда конденсатор полностью зарядится, он разомкнет цепь и появится делитель напряжения

Так

В_{р_{1}} "=" 20_{В} \frac{10 к Ом}{20 к Ом} "=" 10_{В}

$V_{R_{1}}=20_V\frac{10k\Omega}{20k\Omega}=10_V$
а потом

я_{р 1} "=" \frac{10_{В}}{10 к Ом} "=" 1 м А

$I_{R{1}}=\frac{10_V}{10k\Omega}=1mA$

Смоделируйте систему, рассчитайте переходную характеристику, и вы получите напряжение на конденсаторе, поэтому
$В_{С} "=" В_{р_{2}}$ $V_{C}=V_{R_2}$ а потом $В_{р 1} "=" В - В_{С}$ $V_{R1}=V-V_{C}$ Системная модель: $\frac{В (т)}{р_{1} С} "=" \dot{В_{С}} + \frac{1}{С} (\frac{р_{1} + р_{2}}{р_{1} р_{2}}) В_{С}$ $\frac{V(t)}{R_{1}C}=\dot{V_{C}}+\frac{1}{C}(\frac{R_1+R_2}{R_1R_2})V_{C}$ постоянная времени:
$т "=" С (\frac{р_{1} р_{2}}{р_{1} + р_{2}}) "=" 0,006 с$ $\tau=C(\frac{R_1R_2}{R_1+R_2})=0.006s$ выполнение преобразования Лапласа с заданными входными данными и применение значений компонентов $1666,6 \frac{1}{с} "=" В_{С (с)} - В_{С (0)} + 166,6 В_{С (с)}$ $1666.6\frac{1}{s}=V_{C(s)}-V_{C(0)}+166.6V_{C(s)}$ Группировка, вычисление разложения на парциальные дроби и выполнение обратного преобразования Лапласа: $\frac{1666,6}{с (с + 166,6)} "=" В_{С (с)}$ $\frac{1666.6}{s(s+166.6)}=V_{C(s)}$ $В_{С} "=" \frac{10.0036}{с} + \frac{- 10.0036}{с + 166,6} "=" 10.0036 - 10.0036 е^{- 166,6 т}$ $V_{C}=\frac{10.0036}{s}+\frac{-10.0036}{s+166.6}=10.0036-10.0036e^{-166.6t}$ с $т \geq 0$ $t\geq0$ и когда $\underset{т \to \infty}{лим В_{С}} "=" 10.0036 В$ $\underset{t\rightarrow\infty}{\lim V_{C}}=10.0036V$ затем снова) $В_{р 1} "=" В - В_{С}$ $V_{R1}=V-V_{C}$ $В_{р 1} "=" 20 В - 10.0036 В "=" 9,9964 В$ $V_{R1}=20V-10.0036V=9.9964V$ $я_{р 1} "=" \frac{{9,9964}_{В}}{10 к Ом} "=" 0,00099964 А$ $I_{R{1}}=\frac{9.9964_V}{10k\Omega}=0.00099964A$ или $я_{р 1} \approx 1 м А$ $I_{R{1}}\approx1mA$

Я сделал график ответа. ОК, надеюсь, это можно будет просмотреть и указать на любую ошибку или комментарий, если все сделано правильно! Заранее спасибо.

Тони Стюарт EE75

выглядит неплохо. Теперь повторяйте до тех пор, пока не сможете сделать это в уме за 10 секунд. 63%Vin при ReqC по отношению к I= V/Rtot

Джим Дирден

Простой проверкой вы не можете получить напряжение на конденсаторе более чем наполовину от напряжения питания, поэтому есть небольшая ошибка в расчетах (вероятно, из-за аппроксимации значений при расчете). Первоначально ток в резисторе R1 будет равен 2 мА ( конденсатор действует как короткое замыкание ), экспоненциально падая до 1 мА (почти) ( конденсатор действует как разомкнутая цепь ) примерно через 5 постоянных времени — при условии отсутствия начального заряда конденсатора при t = 0.

riccs_0x

Спасибо Тони и Джиму; Я проверяю это; эй! Я об этом не подумал =)

Джим Дирден

И... подумайте, изменили ли вы свою цепь V, R1, R2 на ее эквивалент Thevenin (10 В, 5 кОм), когда она заряжала конденсатор.

riccs_0x

Это другой путь; но на этот раз дядя Тевенин не был допущен к вопросу. Однако я делаю это тоже. "="

пользователь110971

Почему бы вам просто не использовать импеданс конденсатора 1/sC. Это параллельно резистору. Это прямо после этого.

Чу

Сохраняйте расчеты в правильных дробях как можно дольше. И если вы должны использовать десятичные дроби, применяйте обычные правила округления.

Ответы (1)

Ток в R1R1R{_1} резисторного делителя с конденсатором

выглядит неплохо. Теперь повторяйте до тех пор, пока не сможете сделать это в уме за 10 секунд. 63%Vin при ReqC по отношению к I= V/Rtot
Простой проверкой вы не можете получить напряжение на конденсаторе более чем наполовину от напряжения питания, поэтому есть небольшая ошибка в расчетах (вероятно, из-за аппроксимации значений при расчете). Первоначально ток в резисторе R1 будет равен 2 мА ( конденсатор действует как короткое замыкание ), экспоненциально падая до 1 мА (почти) ( конденсатор действует как разомкнутая цепь ) примерно через 5 постоянных времени — при условии отсутствия начального заряда конденсатора при t = 0.
Спасибо Тони и Джиму; Я проверяю это; эй! Я об этом не подумал =)
И... подумайте, изменили ли вы свою цепь V, R1, R2 на ее эквивалент Thevenin (10 В, 5 кОм), когда она заряжала конденсатор.
Это другой путь; но на этот раз дядя Тевенин не был допущен к вопросу. Однако я делаю это тоже. "="
Почему бы вам просто не использовать импеданс конденсатора 1/sC. Это параллельно резистору. Это прямо после этого.
Сохраняйте расчеты в правильных дробях как можно дольше. И если вы должны использовать десятичные дроби, применяйте обычные правила округления.

придурок · Answer 1

Моим первым побуждением было сначала применить Thevenin к $V$ , $R_1$ , и $R_2$ чтобы свести это к простой задаче серии RC, решение которой:

\begin{aligned} р_{т час} & "=" \frac{р_{1} \cdot р_{2}}{р_{1} + р_{2}} "=" 5 к Ом \\ В_{т час} & "=" В \cdot \frac{р_{2}}{р_{1} + р_{2}} "=" \frac{1}{2} В \\ т & "=" р_{т час} \cdot С_{1} "=" 6 РС \\ В_{Икс} "=" В_{р_{1}} & "=" В_{т час} \cdot (1 - е^{- \frac{т}{т}}) "=" \frac{1}{2} В \cdot (1 - е^{- \frac{т}{т}}) \end{aligned}

$\begin{align*} R_{th} &= \frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2} = 5\:\textrm{k}\Omega\\ \\ V_{th} &= V\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2} = \frac{1}{2}\:V \\ \\ \tau&= R_{th} \cdot C_1 = 6\:\textrm{ms}\\ \\ V_x=V_{R_1}&=V_{th}\cdot\left(1-e^{-\cfrac{t}{\tau}}\right)=\frac{1}{2}\:V\cdot\left(1-e^{-\cfrac{t}{\tau}}\right) \end{align*}$

Но это не общий подход. Это работает только в этом случае.

Узловой анализ намного, намного более общий, и был бы случайным заданием нижнего узла на $0\:\textrm{V}$ :

\begin{aligned} \frac{В_{Икс}}{р_{1}} + \frac{В_{Икс}}{р_{2}} + С_{1} \frac{д В_{Икс}}{д т} & "=" \frac{В}{р_{1}} + \frac{0 В}{р_{2}} \\ В_{Икс} \cdot (\frac{1}{р_{1}} + \frac{1}{р_{2}}) + С_{1} \frac{д В_{Икс}}{д т} & "=" \frac{В}{р_{1}} \\ \frac{д В_{Икс}}{д т} + \frac{1}{С_{1} \frac{р_{1} \cdot р_{2}}{р_{1} + р_{2}}} В_{Икс} & "=" \frac{В}{р_{1} С_{1}} \\ \frac{д В_{Икс}}{д т} + \frac{1}{С_{1} р_{т час}} В_{Икс} & "=" \frac{В_{т час}}{С_{1} р_{т час}} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{V_x}{R_1} + \frac{V_x}{R_2} + C_1\frac{\textrm{d} V_x}{\textrm{d} t}&= \frac{V}{R_1} + \frac{0\:\textrm{V}}{R_2} \\ \\ V_x\cdot\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) + C_1\frac{\textrm{d} V_x}{\textrm{d} t}&= \frac{V}{R_1} \\ \\ \frac{\textrm{d} V_x}{\textrm{d} t}+\frac{1}{C_1\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}}V_x&= \frac{V}{R_1 C_1} \\ \\ \frac{\textrm{d} V_x}{\textrm{d} t}+\frac{1}{C_1 R_{th}}V_x&= \frac{V_{th}}{C_1 R_{th}} \end{align*}$

Который находится в очень знакомой форме ОДУ первого порядка. К этому можно применить Лапласа.

Но простое использование обычного метода решения ОДУ для первого порядка дает:

\begin{aligned} п_{т} "=" \frac{1}{С_{1} р_{т час}}, {Вопрос}_{т} & "=" \frac{В_{т час}}{С_{1} р_{т час}}, ∴ \frac{д В_{Икс}}{д т} + п_{т} В_{Икс} "=" {Вопрос}_{т} \\ мю & "=" е^{\int п_{т} д т} "=" е^{[\frac{т}{С_{1} р_{т час}}]} \\ В_{Икс} & "=" \frac{1}{мю} \int мю {Вопрос}_{т} д т \\ "=" е^{[\frac{- т}{С_{1} р_{т час}}]} \int е^{[\frac{т}{С_{1} р_{т час}}]} \frac{В_{т час}}{С_{1} р_{т час}} д т \\ "=" е^{[\frac{- т}{С_{1} р_{т час}}]} \cdot (\frac{В_{т час}}{С_{1} р_{т час}}) \cdot \int е^{[\frac{т}{С_{1} р_{т час}}]} д т \\ "=" е^{[\frac{- т}{С_{1} р_{т час}}]} \cdot (\frac{В_{т час}}{С_{1} р_{т час}}) \cdot (С_{1} р_{т час} е^{[\frac{т}{С_{1} р_{т час}}]} + С_{0}) \\ "=" В_{т час} е^{[\frac{- т}{С_{1} р_{т час}}]} \cdot (е^{[\frac{т}{С_{1} р_{т час}}]} + С_{0}) \\ "=" В_{т час} (1 + С_{0} е^{[\frac{- т}{С_{1} р_{т час}}]}) \end{aligned}

$\begin{align*} P_t = \frac{1}{C_1 R_{th}},~~Q_t &= \frac{V_{th}}{C_1 R_{th}},~~\therefore~~ \frac{\textrm{d} V_x}{\textrm{d} t}+P_t V_x= Q_t\\ \\ \mu &= e^{\int P_t\:\textrm{d} t} = e^{\left[\cfrac{t}{C_1 R_{th}}\right]}\\ \\ V_x &= \frac{1}{\mu}\int \mu\: Q_t~ \:\textrm{d} t \\ \\ &= e^{\left[\cfrac{-t}{C_1 R_{th}}\right]}\int e^{\left[\cfrac{t}{C_1 R_{th}}\right]}\: \frac{V_{th}}{C_1 R_{th}}~ \:\textrm{d} t \\ \\ &= e^{\left[\cfrac{-t}{C_1 R_{th}}\right]}\cdot \left(\frac{V_{th}}{C_1 R_{th}}\right)\cdot \int e^{\left[\cfrac{t}{C_1 R_{th}}\right]}\:~ \:\textrm{d} t \\ \\ &= e^{\left[\cfrac{-t}{C_1 R_{th}}\right]}\cdot \left(\frac{V_{th}}{C_1 R_{th}}\right)\cdot \left(C_1 R_{th}\: e^{\left[\cfrac{t}{C_1 R_{th}}\right]}+C_0\right) \\ \\ &= V_{th}\:e^{\left[\cfrac{-t}{C_1 R_{th}}\right]}\cdot \left(e^{\left[\cfrac{t}{C_1 R_{th}}\right]}+C_0\right) \\ \\ &= V_{th}\left(1 + C_0\:e^{\left[\cfrac{-t}{C_1 R_{th}}\right]}\right) \end{align*}$

Используя начальное условие, что $V_x\left(t=0\right) = 0\:\textrm{V}$ , это приводит к $C_0=-1$ , так:

\begin{aligned} В_{Икс} & "=" В_{т час} (1 - е^{[\frac{- т}{С_{1} р_{т час}}]}) "=" \frac{1}{2} В \cdot (1 - е^{- \frac{т}{т}}) \end{aligned}

$\begin{align*} V_x &= V_{th}\left(1 -e^{\left[\cfrac{-t}{C_1 R_{th}}\right]}\right) = \frac{1}{2}\:V\cdot\left(1-e^{-\cfrac{t}{\tau}}\right) \end{align*}$

И теперь вы можете понять, почему сначала был выбран подход Thevenin.

Или используйте Лапласа применительно к упомянутому ранее ОДУ. Используя известное начальное условие, вы получаете $Y_s = \frac{Q_t}{s^2+P_t s}$ , который решает как $y_t=\frac{Q_t}{P_t}\left(1-e^{-P_t t}\right)=V_{th}\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)=\frac{1}{2} V\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)$ .

Конечно, зная $V_x$ тогда тривиально ответить на ваш вопрос в заголовке относительно тока в $R_1$ через некоторое время.

Благодаря всем вам, сегодня я научился думать немного по-другому! Я никогда не думал, что это может быть так богато.

Ток в R1R1R{_1} резисторного делителя с конденсатором

riccs_0x

Тони Стюарт EE75

Джим Дирден

riccs_0x

Джим Дирден

riccs_0x

пользователь110971

Чу

Ответы (1)

придурок

riccs_0x

RC-цепочка с импульсным входным напряжением; нахождение постоянных времени

Как преобразование Лапласа включает переходную характеристику?

Концепция вырожденной схемы и ее теоретические и практические последствия

Зарядка и разрядка конденсаторов

Как рассчитать начальное напряжение в простой электрической цепи?

Преобразование Лапласа и идея анализа в частотной области

влияние обратной связи на шум и нелинейность

Как проанализировать конденсатор, подключенный к постоянному напряжению напрямую (без резистора)?

Как рассчитать постоянную времени для RC-цепи с более чем одним резистором

RC-цепь зарядки и разрядки