Тождества матриц Паули в двухкомпонентном спинорном формализме

Я читаю обзор HK Dreiner, HE Haber и SP Martin ( arXiv:0812.1594 ) о двухкомпонентном спинорном формализме. Есть некоторые тождества и условные обозначения, которые приводят к некоторой путанице с моей стороны после того, как я их.

Определения/условия

Поскольку эта тема очень подвержена ошибкам из-за смешения различных соглашений, я попытаюсь собрать ниже соответствующие определения. Если есть сомнения, я хотел бы придерживаться условностей упомянутой выше статьи.

1. Авторы определяют антисимметричный символ как (уравнение (2.19))$\epsilon^{12} = -\epsilon^{21} = \epsilon_{21} = -\epsilon_{12} = 1$и$\epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}} = (\epsilon^{\alpha\beta})^*$,$\epsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}} = (\epsilon_{\alpha\beta})^*$, т. е. числовые значения пунктирных и непунктирных индексов совпадают.

2. С помощью этих объектов мы можем повышать и понижать спинорные индексы (уравнение (2.20))

   $$\psi_\alpha = \epsilon_{\alpha\beta} \psi^\beta \,, \quad \psi^\alpha = \epsilon^{\alpha\beta} \psi_\beta \,, \quad \psi^\dagger_{\dot{\alpha}} = \epsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}} \psi^{\dagger\dot{\beta}} \,, \quad \psi^{\dagger\dot{\alpha}} = \epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}} \psi^\dagger_{\dot{\beta}}$$ и аналогично для объектов более высокого ранга (уравнение (2.21)): $$A^{\gamma\delta} = \epsilon^{\gamma\alpha} \epsilon^{\delta\beta} A_{\alpha\beta} \,, \qquad A_{\gamma\delta} = \epsilon_{\gamma\alpha} \epsilon_{\delta\beta} A^{\alpha\beta} \,.$$

3. Матрицы Паули определяются как (уравнения (2.27), (2.28))

   $$(\sigma^\mu)_{\alpha\dot{\beta}} = (\mathbb{1}_{2\times2},\vec{\sigma}) \,, \qquad (\bar{\sigma}^\mu)^{\dot{\alpha}\beta} = (\mathbb{1}_{2\times2},-\vec{\sigma}) \,.$$ С их помощью можно определить (уравнения (2.71), (2.72)) $$(\sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = \frac{i}{4} \left(\sigma^\mu_{\alpha\dot{\gamma}} \bar{\sigma}^{\nu\dot{\gamma}\beta}-\sigma^\nu_{\alpha\dot{\gamma}} \bar{\sigma}^{\mu\dot{\gamma}\beta}\right) \,, \qquad (\bar{\sigma}^{\mu\nu})^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}} = \frac{i}{4} \left(\bar{\sigma}^{\mu\dot{\alpha}\gamma}\sigma^\nu_{\gamma\dot{\beta}}-\bar{\sigma}^{\nu\dot{\alpha}\gamma}\sigma^\mu_{\gamma\dot{\beta}}\right) \,.$$ для которых выполняются следующие тождества (уравнение (2.77)) $$(\sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = \epsilon_{\alpha\tau} \epsilon^{\beta\gamma} (\sigma^{\mu\nu})_\gamma{}^\tau, \qquad (\bar{\sigma}^{\mu\nu})^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}} = \epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\tau}} \epsilon_{\dot{\beta}\dot{\gamma}} (\bar{\sigma}^{\mu\nu})^{\dot{\gamma}}{}_{\dot{\tau}} \,. \label{eq:id}\tag{1}$$ Я проверил эти тождества, вставив явные представления для матриц Паули и вычислив все суммы.

4. Кроме того, они обсуждают соответствие между их компонентной нотацией и объектами с двумя спинорными индексами, рассматриваемыми как матрицы. Вокруг уравнений. (2.33) и (2.34) пишут

   $$(V^T)_{\alpha\dot{\beta}} = V_{\beta\dot{\alpha}} \,, \quad (V^*)_{\dot{\alpha}\beta} = (V_{\alpha\dot{\beta}})^* \,, \quad (V^\dagger)_{\alpha\dot{\beta}} = (V_{\beta\dot{\alpha}})^* = (V^*)_{\dot{\beta}\alpha} \,, \label{eq:mat}\tag{2}$$ $$(W^T)_\alpha{}^\beta = W^\alpha{}_\beta \,, \quad (W^*)_{\dot{\alpha}}{}^{\dot{\beta}} = (W_\alpha{}^\beta)^* \,, \quad (W^\dagger)^{\dot{\beta}}{}_{\dot{\alpha}} = (W_\alpha{}^\beta)^* = (W^*)_{\dot{\alpha}}{}^{\dot{\beta}} \,. \label{eq:mat2}\tag{3}$$

Вопросы

1. Если я использую свойства повышения и понижения индекса$\epsilon$символ на тождествах ($\ref{eq:id}$) я получаю, например, в случае без точек,

   $$(\sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = (\sigma^{\mu\nu})^\beta{}_\alpha \,,$$ который я бы интерпретировал, используя соглашения ($\ref{eq:mat2}$), как $$(\sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = \left((\sigma^{\mu\nu})^T\right)_\alpha{}^\beta \,,$$ то есть$\sigma^{\mu\nu} = (\sigma^{\mu\nu})^T$в матричной записи. Как можно быстро убедиться, используя явные представления для матриц Паули, это неверно (проверьте, например,$(\mu,\nu) = (0,2)$или$(1,3)$). Теперь мой вопрос: где я неправильно истолковываю соглашения или делаю ошибку?

2. Когда я пытаюсь объединить обозначения для транспонирования и комплексного сопряжения для смешанного случая без точек/точек в ($\ref{eq:mat}$), я не получаю того же выражения для эрмитова сопряжения, что и здесь:

   $$(V^\dagger)_{\alpha\dot{\beta}} = \left((V^*)^T\right)_{\alpha\dot{\beta}} = (V^*)_{\beta\dot{\alpha}} = (V_{\dot{\beta}\alpha})^* \,.$$ Это кажется прямо противоположным относительно пунктирности по сравнению с тем, что ($\ref{eq:mat}$) претензии. Я ничего не упустил?