Почему круговые единичные векторы часто определяются как e^±=∓(e^x±ie^y)/2–√e^±=∓(e^x±ie^y)/2\hat{\mathbf e}_ \pm = \mp (\hat{\mathbf e}_x \pm i \hat{\mathbf e}_y)/\sqrt{2}

При работе с круговыми поляризациями, сферическими гармониками и, вообще, с любой векторнозначной вращательно-инвариантной величиной часто требуется определить комплекснозначные единичные векторы вида ( 1 , я , 0 ) и ( 1 , − я , 0 ) , у которых есть то приятное свойство, что при вращении они переходят к себе раз в сложную фазу.

Однако на многих ресурсах, особенно с серьезной и системной позицией, используется другое соглашение о знаках, и они определяют

е ^ ± "=" ∓ 1 2 ( е ^ Икс ± я е ^ у ) ,
с глобальным знаком впереди. Это относительно нелогично для меня, но находит достаточное применение [см. примеры 1 , 2 , 3 , 4 ], поэтому я полагаю, что для этого соглашения должна быть какая-то причина.

Каким образом это соглашение о знаках упрощает дело? Это не то, что вы делаете наугад, просто вводя неоправданную сложность в формулу краеугольного камня, которая должна быть максимально простой, поэтому я полагаю, что она предназначена для уменьшения сложности в другом месте. Что именно это «в другом месте»?

В интересах здравомыслия в этой теме \ue{x}было определено производить е ^ Икс .

Ответы (2)

Один ответ, связывающий антисимметрию произведения клина и коммутатора (Ли), дает теорема Вигнера — Эккарта. Позволять

Т ^ 10 "=" л ^ г Т ^ 1 ± 1 "=" ∓ 1 2 ( л ^ Икс ± я л ^ у ) "=" ∓ 1 2 л ^ ±
Тогда элементы матрицы
⟨ Дж м ′ | Т ^ 1 мю | Дж м ⟩ "=" ⟨ Дж м ; 1 мю | Дж м ′ ⟩ Дж ( Дж + 1 )
где ⟨ Дж м ; 1 мю | Дж м ′ ⟩ — коэффициент Клебша-Гордана. В принципе, − знак необходим для определения Т ^ 11 как правильный + 1 компонент тензорного оператора.

Соединение с клиновым изделием таково, что

[ Т ^ 1 к , Т ^ 1 м ] ↔ е ^ к ∧ е ^ м
да и вообще в некоторых учебниках коммутатор [ Т ^ 1 к , Т ^ 1 м ] записывается как Т ^ 1 к ∧ Т ^ 1 м

Если вы определите е ^ ± как

е ^ ± "=" 1 2 ( е ^ Икс ± я е ^ у )

Вы получаете

е ^ + ∧ е ^ − "=" − я е ^ г .

Если вместо этого вы определяете

е ^ + "=" − 1 2 ( е ^ Икс + я е ^ у )

и

е ^ − "=" 1 2 ( е ^ Икс − я е ^ у ) ,

перекрестное произведение становится

е ^ + ∧ е ^ − "=" я е ^ г .

Следовательно, в первом случае ( е ^ + , е ^ − , я е ^ г ) имеет одинаковую ориентацию ( е ^ Икс , е ^ у , е ^ г ) , тогда как в последнем ориентация сохраняется ( е ^ − , е ^ + , я е ^ г ) .

Есть ли причина предпочесть одну ориентацию другой? Я бы сказал нет, это, вероятно, просто вопрос традиции.

Почему круговые единичные векторы часто определяются как e^±=∓(e^x±ie^y)/2–√e^±=∓(e^x±ie^y)/2\hat{\mathbf e}_ \pm = \mp (\hat{\mathbf e}_x \pm i \hat{\mathbf e}_y)/\sqrt{2}
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v