Определитель Фаддеева-Попова теории Черна-Саймонса

Question

Определитель Фаддеева-Попова теории Черна-Саймонса

Физика
калибровочная теория
Черн-Саймонс-теория
квантовая теория поля
топологическая теория поля

Либертарианский феодал-бот

Я задаю этот вопрос, чтобы выяснить выражение определителя Фаддеева-Попова, данное Эдвардом Виттеном в его статье « Квантовая теория поля и полином Джонса ».

Начиная с действия

С [А] знак равно \frac{к}{4 π} \int_{М} Т р (А \land г А + \frac{2}{3} А \land А \land А)

$S[A]=\frac{k}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}\left(A\wedge dA+\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A\right)$

вариация дает уравнение движения

Ф знак равно д А + А \land А знак равно 0

$F=dA+A\wedge A=0$

Обозначая решения уравнения движения через $a$ , затем расширяется общее соединение $A$ вокруг плоского соединения

А знак равно а + Б

$A=a+B$

Далее действие разбивается на три части:

С [А] знак равно \frac{к}{4 π} \int_{М} Т р (а \land г а + \frac{2}{3} а \land а \land а \land а) + \frac{к}{4 π} \int_{М} Т р (Б \land Д_{а} Б) +

$S[A]=\frac{k}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}\left(a\wedge da+\frac{2}{3}a\wedge a\wedge a\wedge a\right)+\frac{k}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}\left(B\wedge D_{a}B\right)+$

+ \frac{к}{6 π} \int_{М} Т р (Б \land Б \land Б)

$+\frac{k}{6\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}\left(B\wedge B\wedge B\right)$

где ковариантная производная во втором члене определяется как $D_{a}=d+[a,\,\,\,\,]$ .

Калибровочное преобразование $A[U]=U^{-1}dU+U^{-1}AU$ распадается на две части:

а [U] знак равно U^{- 1} д U + U^{- 1} а U, Б [U] знак равно U^{- 1} Б U

$a[U]=U^{-1}dU+U^{-1}aU,\quad B[U]=U^{-1}BU$

так что плоские связи остаются плоскими, а часть возмущения $B$ живет в присоединенном представлении.

Тогда интеграл по путям принимает вид

Z знак равно \int Д а е^{я С [а]} \int Д Б опыт {\frac{я к}{4 π} \int_{М} Т р (Б \land Д_{а} Б) + \frac{я к}{6 π} \int_{М} Т р (Б \land Б \land Б)}

$Z=\int\mathcal{D}a\,e^{iS[a]}\int\mathcal{D}B\,\exp\left\{\frac{ik}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}(B\wedge D_{a}B)+\frac{ik}{6\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}(B\wedge B\wedge B)\right\}$

Легко проверить, что последние два слагаемых

С [а; Б] знак равно \frac{я к}{4 π} \int_{М} Т р (Б \land Д_{а} Б) + \frac{я к}{6 π} \int_{М} Т р (Б \land Б \land Б)

$S[a;B]=\frac{ik}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}(B\wedge D_{a}B)+\frac{ik}{6\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}(B\wedge B\wedge B)$

действительно инвариантны относительно калибровочных преобразований $a[U]=U^{-1}dU+U^{-1}aU$ и $B[U]=U^{-1}BU$ . Предполагая пространственно-временное многообразие $M$ закрыто, и $k\in\mathbb{Z}$ , то первая часть

С [а] == \frac{к}{4 π} \int_{М} Т р (а \land г а + \frac{2}{3} а \land а \land а)

$S[a]==\frac{k}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}\left(a\wedge da+\frac{2}{3}a\wedge a\wedge a\right)$

также является калибровочно-инвариантным с точностью до сдвига на $2\pi\mathbb{Z}$ из терма Весса-Зумино-Виттена при больших калибровочных преобразованиях.

Предполагая, что пространство модулей плоских связностей $\mathcal{M}=\mathrm{Hom}(\pi_{1}(M),G)/G$ является дискретным набором, то статистическая сумма действительно

Z знак равно \sum_{м е М} е^{я С [а_{м}]} \frac{1}{В о л} \int Д Б опыт {\frac{я к}{4 π} \int_{М} Т р (Б \land Д_{а} Б) + \frac{я к}{6 π} \int_{М} Т р (Б \land Б \land Б)}

$Z=\sum_{m\in\mathcal{M}}e^{iS[a_{m}]}\frac{1}{\mathrm{Vol}}\int\mathcal{D}B\,\exp\left\{\frac{ik}{4\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}(B\wedge D_{a}B)+\frac{ik}{6\pi}\int_{M}\mathrm{Tr}(B\wedge B\wedge B)\right\}$

Чтобы зафиксировать калибровку, автор накладывает ковариантную калибровку

Ф [а; Б] знак равно (Д_{а})_{мю} Б^{мю} знак равно 0

$\mathcal{F}[a;B]=(D_{a})_{\mu}B^{\mu}=0$

Тогда определитель Фаддеева-Попова равен

Δ [а; Б] знак равно Д е т (\frac{дельта Ф [а [U]; Б [U]]}{дельта U}) |_{U знак равно я д} знак равно Д е т (М)

$\Delta[a;B]=\mathrm{Det}\left(\frac{\delta\mathcal{F}[a[U];B[U]]}{\delta U}\right)\Bigg|_{U=\mathrm{id}}=\mathrm{Det}(M)$

Используя цепное правило, можно

М (Икс - у) знак равно \int г^{3} г {\frac{дельта Ф (Икс)}{дельта Б (г)} \frac{дельта Б (г)}{дельта U (у)} + \frac{дельта Ф (Икс)}{дельта а (г)} \frac{дельта а (г)}{дельта U (у)}}

$M(x-y)=\int d^{3}z\left\{\frac{\delta\mathcal{F}(x)}{\delta B(z)}\frac{\delta B(z)}{\delta U(y)}+\frac{\delta\mathcal{F}(x)}{\delta a(z)}\frac{\delta a(z)}{\delta U(y)}\right\}$

В статье Виттена окончательное выражение Фаддеева-Попова весьма простое, т.е.

М знак равно (Д_{а})_{мю} (Д_{а})^{мю}

$M=(D_{a})_{\mu}(D_{a})^{\mu}$

Однако, продолжая вычисление функциональных производных, я получил совсем другой результат.

Чтобы быть конкретным, функциональные производные задаются выражением

\frac{дельта Ф (Икс)}{дельта Б (г)} знак равно Д_{а} (Икс) дельта (Икс - г), \frac{дельта Ф (Икс)}{дельта а (г)} знак равно [дельта (Икс - г), Б (г)]

$\frac{\delta\mathcal{F}(x)}{\delta B(z)}=D_{a}(x)\delta(x-z),\quad \frac{\delta\mathcal{F}(x)}{\delta a(z)}=[\delta(x-z),B(z)]$

\frac{дельта Б (г)}{дельта U (у)} знак равно [Б (г), дельта (г - у)], \frac{дельта а (г)}{дельта U (у)} знак равно Д_{а} (г) дельта (г - у)

$\frac{\delta B(z)}{\delta U(y)}=[B(z),\delta(z-y)],\quad \frac{\delta a(z)}{\delta U(y)}=D_{a}(z)\delta(z-y)$

куда $(D_{a})_{\mu}(x)\delta(x-y)=\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\delta(x-y)+[a_{\mu}(x),\delta(x-y)]$ , а коммутатор здесь несет индексы алгебры Ли и поэтому симметричен. то есть $[A,B]=AB+BA$ .

Подставив приведенные выше функциональные производные обратно в определитель, я в конце концов получил следующее:

М (Икс) знак равно 4 (Д_{а})_{мю} Б^{мю} (Икс)

$M(x)=4(D_{a})_{\mu}B^{\mu}(x)$

Это явно неправильно.

Что я ошибаюсь в приведенной выше процедуре?

(Я также разместил этот вопрос здесь )

СлучайныйПреобразование Фурье

Что касается проблемы плоских связностей, вы можете найти Гильбертово пространство Черна-Саймонса на торе, часть первая. полезный.

Цзин-Юань Чен

В качестве побочного комментария обратите внимание, что кручение Рэя-Зингера в этой статье имеет небольшую ошибку - это должен быть квадратный корень кручения Рэя-Зингера, как указано в ссылке

Ответы (1)

Определитель Фаддеева-Попова теории Черна-Саймонса

Что касается проблемы плоских связностей, вы можете найти Гильбертово пространство Черна-Саймонса на торе, часть первая. полезный.
В качестве побочного комментария обратите внимание, что кручение Рэя-Зингера в этой статье имеет небольшую ошибку - это должен быть квадратный корень кручения Рэя-Зингера, как указано в ссылке

Давид Бар Моше · Answer 1

Давид Бар Моше

Виттен хочет вычислить интеграл по путям для заданного фона. $a$ , он не хочет меняться $a$ внутри $B$ действие. Если бы он хотел, то не выбрал бы крепление манометра. $(D_{a})_{\mu}B^{\mu}=0$ , так как эта калибровочная фиксация инвариантна относительно комбинированного калибровочного преобразования $a$ и $B$ дано в вопросе.

Действие для флуктуационного поля имеет следующую калибровочную свободу:

а [U] знак равно а

$a[U] = a$

Б [U] знак равно U^{- 1} Б U + U^{- 1} Д_{а} U

$B[U] = U^{-1}BU + U^{-1}D_aU$ (бесконечно мало:

δ B [U] = D_{a} δ U + [B, δ U] = D_{A} δ U

$\delta B[U] = D_a \delta U + [ B, \delta U] = D_A \delta U$ )

Обратите внимание, что действие Черна-Саймонса для $B$ калибровочно инвариантна относительно приведенного выше преобразования, так как $D_a$ нильпотентна из-за плоскостности $a$ :

Д_{а}^{2} знак равно Ф_{а} знак равно 0

$D_a^2 = F_a = 0$ Таким образом, мы имеем калибровочную теорию неабелевой

B

$B$ калибровочный потенциал с внешней производной

d

$d$ заменен на витой дифференциал

D_{a}

$D_a$ .

Теперь у нас есть:

дельта Ф [а; Б] знак равно (Д_{а})_{мю} дельта Б^{мю} знак равно (Д_{а})_{мю} (Д_{А})^{мю} дельта U

$\delta\mathcal{F}[a;B]=(D_{a})_{\mu}\delta B^{\mu}= (D_{a})_{\mu}(D_A)^{\mu} \delta U$

Таким образом, лапласиан Фаддеева-Попова имеет вид:

М знак равно (Д_{а})_{мю} (Д_{А})^{мю}

$M=(D_{a})_{\mu}(D_{A})^{\mu}$

Обратите внимание, что это отличается от результата Виттена, вторая ковариантная производная относится к полному калибровочному потенциалу: фон $+$ колебания. Мы получим результат Виттена, только если предположим, что флуктуации малы, и пренебрежем членами выше квадратичного члена. Этот факт был замечен Бирмингемом, Блау, Раковски и Томпсоном , где тщательная оценка дана в уравнениях 6.14 и 6.15 на странице 195.

Либертарианский феодал-бот

Большое спасибо за вашу помощь, мистер Дэвид Бар Моше. Эта проблема заставила меня страдать от бессонницы. О, глупый я. Спасибо, что просветили меня.

Либертарианский феодал-бот

Привет сэр. У меня есть еще один вопрос к вам. Затем флуктуационная часть действия при приведенном выше калибровочном преобразовании дает «ковариантную версию» члена Весса-Зумино-Виттена, который равен

T r (U^{- 1} D_{a} U \land U^{- 1} D_{a} U \land U^{- 1} D_{a} U)

$\mathrm{Tr}(U^{-1}D_{a}U\wedge U^{-1}D_{a}U\wedge U^{-1}D_{a}U)$ . Это все еще интеграл?

Давид Бар Моше

Да, должно быть. Причина в том, что скрученный внешний дифференциал

D_{a}

$D_a$ действует на различные поля в соответствии с их представлением. Например

T r ((U^{- 1} d U)^{3})

$\mathrm{Tr}\left(( U^{-1} dU)^3\right)$ является скаляром, поэтому:

D_{a} T r ((U^{- 1} d U)^{3}) = d T r ((U^{- 1} d U)^{3})

$D_a\mathrm{Tr}\left(( U^{-1} dU)^3\right) = d\mathrm{Tr}\left(( U^{-1} dU)^3\right)$ , таким образом:

d T r ((U^{- 1} d U)^{3}) = T r D_{a} ((U^{- 1} d U)^{3}) = 0

$d\mathrm{Tr}\left(( U^{-1} dU)^3\right) = \mathrm{Tr}D_a\left(( U^{-1} dU)^3\right) = 0$ . Исчезновение последнего члена можно доказать по тем же критериям стандартного члена WZW. Таким образом, эта форма закрыта.

Давид Бар Моше

Поэтому на компактном многообразии можно найти нормировку, делающую его целым. Теперь эта нормализация не должна зависеть от плоского соединения

a

$a$ по крайней мере, когда его пространство модулей связно. Таким образом, если мы начнем с

a = 0

$a=0$ , мы получаем обычную нормировку, которая должна сохраняться для всех значений

a

$a$ на связной составляющей

a = 0

$a=0$ .

Либертарианский феодал-бот

Здравствуйте, мистер Дэвид Бар Моше. Ты имеешь ввиду

T r D_{a} ((D^{- 1} D_{a} U)^{3})

$\mathrm{Tr}D_{a}((D^{-1}D_{a}U)^{3})$ ?

Либертарианский феодал-бот

Привет сэр. Не могли бы вы рассказать мне, как

D_{a}

$D_{a}$ действующий на

U

$U$ определено? Это просто

d U + a U

$dU+aU$ ?

Давид Бар Моше

U

$U$ преобразуется по присоединенному представлению, поэтому

D_{a} U = d U + a U - U a

$D_a U = dU + aU – Ua$ . Другой пример: предположим, что у вас есть поле материи

Ψ

$\Psi$ преобразование в соответствии с некоторым общим преобразованием, представленным матрицами

{T_{i}}

$\{T_i\}$ . Затем

D_{a} Ψ = d ψ + a_{i} T_{i} Ψ

$D_a \Psi = d\psi + a_i T_i \Psi$ . Термин WZW является скаляром (калибровочной группы), тогда

D_{a} (W Z W) = d (W Z W)

$D_a (WZW) = d (WZW)$ (другими словами

{T_{i}}

$\{T_i\}$ все равны нулю для термина WZW (тривиальное представление)).

Либертарианский феодал-бот

Как может

U

$U$ преобразовать в присоединенном представлении? U — калибровочное преобразование, поэтому это скалярная функция.

Давид Бар Моше

Все объекты в теории Янга-Миллса оперируют декартовым произведением: пространство-время.

\otimes

$\otimes$ внутренняя симметрия.

U

$U$ является пространственно-временным скаляром, но это групповой элемент внутренней симметрии. Во всем, что я упомянул выше, я имел в виду внутреннюю симметрию.

Либертарианский феодал-бот

Но из бесконечно малого калибровочного преобразования должно быть

D_{a} U = d U + a U

$D_{a}U=dU+aU$ .

Давид Бар Моше

Если

U

$U$ принадлежало, например, фундаментальному представлению, то ваше уравнение было бы правильным. Пожалуйста, проверьте, что при преобразовании:

U \to V^{- 1} U V

$U\rightarrow V^{-1}UV$ и

a \to V^{- 1} a V + V^{- 1} d V

$a\rightarrow V^{-1}aV+V^{-1}dV$ , что производная, которую вы написали, не ковариантна, а приведенная выше производная с присоединенным действием ковариантна.

Либертарианский феодал-бот

Привет, сэр, извините, я все еще не могу понять. Что такое

U \to V^{- 1} U V

$U\rightarrow V^{-1}UV$ ? Из уравнения

D_{a} U = d U + a U

$D_{a}U=dU+aU$ , очевидно, что изменение

U^{- 1} D_{a} U

$U^{-1}D_{a}U$ производит бесконечно малый член

D_{a} δ U

$D_{a}\delta U$ .

Давид Бар Моше

Это калибровочное преобразование, я запишу его в ваших обозначениях: Сделайте преобразование:

U [V] = V^{- 1} U V

$U[V] = V^{-1}UV$ и

a [V] = V^{- 1} a V + V^{- 1} d V .

$a[V] = V^{-1}aV+V^{-1}dV.$ Сейчас

D_{a}

$D_a$ ковариантен при этом преобразовании? т. е. выполняется ли следующее уравнение:

D_{a [V]} (U [V]) = V^{- 1} (D_{a} U) V

$D_{ a[V] }(U[V]) = V^{-1} (D_a U) V$ , теперь вы можете выполнить проверку, какое выражение

D_{a}

$D_a$ удовлетворяет приведенному выше правилу преобразования.

Либертарианский феодал-бот

U

$U$ принадлежит калибровочной группе, а

a

$a$ принадлежит алгебре Ли. я не думаю

[a, U]

$[a,U]$ имеет смысл.

Либертарианский феодал-бот

Я это понимаю

U^{- 1} d U

$U^{-1}dU$ является формой Маури-Картана, которая имеет алгебраическое значение Ли. Есть ли смысл писать

U^{- 1} D_{a} U

$U^{-1}D_{a}U$ ? Имеет ли эта форма какой-либо геометрический смысл?

Давид Бар Моше

Вся теория WZW дается, когда групповые элементы

U

$U$ задаются как матрицы в фундаментальном представлении. След в функционале WZW находится в фундаментальном представлении. Пожалуйста, смотрите в следующей статье, как Виттен использует эти коммутаторы элемента алгебры Ли с элементом группы (например, на стр. 428, пятая строка в тексте). Физический смысл такого коммутатора — бесконечно малое калибровочное преобразование на конечном групповом элементе. phys.sinica.edu.tw/~spring8/users/jychen/pub/reference/…

Определитель Фаддеева-Попова теории Черна-Саймонса

Либертарианский феодал-бот

СлучайныйПреобразование Фурье

Цзин-Юань Чен

Ответы (1)

Давид Бар Моше

Либертарианский феодал-бот

Либертарианский феодал-бот

Давид Бар Моше

Давид Бар Моше

Либертарианский феодал-бот

Либертарианский феодал-бот

Давид Бар Моше

Либертарианский феодал-бот

Давид Бар Моше

Либертарианский феодал-бот

Давид Бар Моше

Либертарианский феодал-бот

Давид Бар Моше

Либертарианский феодал-бот

Либертарианский феодал-бот

Давид Бар Моше

Модели высшего типа Черна-Саймонса

Калибровочная инвариантность и диффеоморфизм-инвариантность в теории Черна-Саймонса

Гильбертово пространство Черна-Саймонса на торе, часть первая...

Степени свободы Черна-Саймонса

Теория Черна-Саймонса

Групповая структура в теории Черна-Саймонса?

Нет локальных степеней свободы при плоском соединении

Большие калибровочные преобразования для калибровочных полей высшей p-формы

Интегрирование по калибровочному полю в абелевой теории Черна-Саймонса в формализме полевых интегралов

Значение уравнения Янга-Бакстера для классической ррр-матрицы