Угловая скорость и угол крена

Чтобы понять, откуда берется уравнение для ускорения, сначала нарисуйте диаграмму свободного тела сиденья. На приведенной ниже диаграмме$\theta$угол смещения,$G = mg$это масса тела, а$T$это натяжение (натяжение) веревки.

В равновесии сиденье не перемещается в вертикальном направлении. Первый закон Ньютона для вертикальной составляющей:

$$G - T \cos \theta = 0$$

что равно:

$$T = \frac{mg}{\cos \theta} \tag 1$$

Однако есть движение в горизонтальном направлении ( круговое движение ). Второй закон Ньютона для горизонтальной составляющей:

$$T \sin \theta = m a \tag 2$$

где$a$ускорение к центру вращения ( центростремительное ускорение ).

Комбинируя уравнения (1) и (2) получаем

$$\tan \theta = \frac{a}{g} \tag 3$$

Для кругового движения центростремительное ускорение определяется как:

$$a = \frac{v^2}{R}$$

где$v$это скорость, которая постоянна, и$R$радиус. Скорость также может быть выражена как:

$$v = \frac{2 \pi R}{T} = \omega R$$

где$T$время для одного полного оборота, и$\omega$круговая частота. Центростремительное ускорение также может быть определено как:

$$a = \omega^2 R \tag 4$$

Комбинируя уравнения (3) и (4) получаем окончательный вид

$$\boxed{\tan \theta = \frac{\omega^2 R}{g}}$$

Вы никогда не сможете достичь угла$\theta = 90^\circ$так как в этом случае отсутствует вертикальная составляющая напряжения ($T \cos \theta$), который должен отменить вес ($G = mg$). Из-за этого тело также будет двигаться ( падать ) в вертикальном направлении.

---

Здесь я вывожу выражение для центростремительного (радиального) ускорения. Прежде чем мы начнем, давайте определим векторы положения, скорости и ускорения в двух измерениях:

$$\vec{r} = x \hat{\imath} + y \hat{\jmath}, \qquad \vec{v} = v_x \hat{\imath} + v_y \hat{\jmath}, \qquad \vec{a} = a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath}$$

где$\hat{\imath}$и$\hat{\jmath}$— единичные векторы, охватывающие горизонтальную плоскость.

Производная по времени от смещения есть скорость, а производная от скорости есть ускорение:

$$\frac{d}{dt}\vec{r} = \vec{v} = \dot{x} \hat{\imath} + \dot{y} \hat{\jmath}, \qquad \frac{d}{dt}\vec{v} = \vec{a} = \dot{v}_x \hat{\imath} + \dot{v}_y \hat{\jmath}$$

где$v_x = \dot{x}$,$v_y = \dot{y}$,$a_x = \dot{v}_x$, и$a_y = \dot{v}_y$.

Нам также понадобится уравнение для скалярного произведения двух векторов$\vec{c} = (c_\imath, c_\jmath)$и$\vec{e} = (e_\imath, e_\jmath)$:

$$\vec{c} \cdot \vec{e} = |\vec{c}| |\vec{e}| \cos \alpha = c_\imath e_\imath + c_\jmath e_\jmath$$

где$\alpha$угол между двумя векторами, а$|\vec{c}|$и$|\vec{e}|$длина вектора:

$$|\vec{c}|^2 = c_\imath^2 + c_\jmath^2$$

Наконец, мы определяем$|\vec{r}| = R$,$|\vec{v}| = v_0$, и$|\vec{a}| = a_0$.

Теперь начнем с уравнения для положения и скорости при круговом движении:

$$x^2 + y^2 = R^2 \tag 5$$ $$v_x^2 + v_y^2 = v_0^2 \tag 6$$

где$R$- радиус движения, который предполагается постоянным, а$v_0$- скорость движения, которая предполагается изменяющейся во времени.

Возьмите производную по времени уравнения. (5):

$$x v_x + y v_y = 0 \quad \rightarrow \quad v_0 R \cos \phi = 0$$

где$\phi$угол между векторами положения и скорости. Делаем вывод, что угол$\phi = 90^\circ$, т.е. векторы положения и скорости перпендикулярны!

Возьмите производную по времени от приведенного выше уравнения:

$$x a_x + y a_y = -v_0^2 \quad \rightarrow \quad a_0 R \cos \rho = -v_0^2$$

где$\rho$угол между векторами положения и ускорения. Делаем вывод, что угол находится во 2-м или 3-м квадранте, т.е. векторы положения и ускорения направлены в противоположные стороны!

Возьмите производную по времени уравнения. (6):

$$v_x a_x + v_y a_y = v_0 \dot{v}_0 \quad \rightarrow \quad a_0 \cos \varepsilon = \dot{v}_0$$

где$\varepsilon$угол между векторами скорости и ускорения. С$a_0 \cos \varepsilon$является проекцией вектора$\vec{a}$на векторе$\vec{v}$, тангенциальное ускорение определяется как:

$$\boxed{a_{||} = a_0 \cos \varepsilon = \dot{v}_0}$$

Другими словами, тангенциальное ускорение изменяет величину скорости. Когда круговое движение является равномерным (постоянная скорость), тангенциальное ускорение равно нулю.

Теперь находим соотношение между углами$\phi$,$\rho$и$\varepsilon$:

$$\rho = \phi + \varepsilon = 90^\circ + \varepsilon \quad \rightarrow \quad \cos \rho = - \sin \varepsilon$$

Уравнение для радиального ускорения принимает вид:

$$a_0 R \cos \rho = -v_0^2 \quad \rightarrow \quad a_0 \sin \varepsilon = \frac{v_0^2}{R}$$

С$a_0 \sin \varepsilon$является проекцией вектора$\vec{a}$на оси, перпендикулярной вектору$\vec{v}$(который находится в направлении, противоположном вектору положения$\vec{r}$), это также называется радиальным ускорением :

$$\boxed{a_{\perp} = a_0 \sin \varepsilon = \frac{v_0^2}{R}}$$

Другими словами, радиальное ускорение только меняет направление вектора скорости, но не влияет на его величину!

На этом вывод выражений для тангенциального и радиального ускорений завершен.

Посмотрите на эту бесплатную диаграмму тела, отсюда вы получаете

$$\tan \theta=\frac{m\omega^2r}{mg}$$

Таким образом, если угловая скорость$\omega$увеличивает ангел$\theta$увеличивается