Ускорение и относительность космического корабля

В игре есть два эффекта: с другой стороны, переход от$0.25c$к$0.30c$требует большего ускорения, чем переход от$0.20c$к$0.25c$, но, с другой стороны, масса ракеты на второй фазе меньше, поэтому достигается лучшее ускорение. Ответ будет: это зависит.

---

Для начала нам нужно знать, как работают ракеты по ньютоновской механике . Это в основном вывод ракетного уравнения Цойлковского . Для простоты я работаю в одномерном мире, где ракета ускоряется в положительном направлении.

Ракета работает, отталкивая выхлопные газы назад. Их средняя скорость в системе отсчета ракеты равна$v_e$что является (в простой, но полезной модели) константой, зависящей только от двигателя и не зависящей от массы ракеты и оставшегося топлива. Когда ракета использует массу$-dm$(где$dm$отрицательно, что соответствует изменению массы ракеты) топлива за короткий период$dt$, импульс выхлопа равен$dm \cdot v_e$. Это тоже изменение импульса ракеты (но противоположного знака). В частности, если масса ракеты (включая топливо)$m$, изменение его скорости равно$dv = -dm \cdot v_e / m$. Таким образом, мы получаем дифференциальное уравнение:

$$\frac{dv}{dt} = -\frac{dm}{dt} \frac{v_e}{m}$$ Интегрируя это, когда ракета сжигает топливо так, что ее начальная масса равна $m_1$а конечная масса $m_2$, скорость ракеты изменяется на $$\Delta v = v_e \ln \frac{m_2}{m_1}.$$

---

Теперь к специальной теории относительности ! В системе отсчета наблюдателя, если скорость ракеты$v$, то есть такая вещь, как собственная скорость $w$который$w= \gamma v$, где$\gamma = [1-(v/c)^2]^{-1/2}$есть фактор Лоренца. Это полезно, потому что скорость изменения этого,$dw/dt$, называемое собственным ускорением , есть именно то ускорение, которое испытывает ракета!

При сжигании топлива в системе отсчета ракеты отсутствуют релятивистские эффекты (разве что$v_e$смехотворно большой), поэтому ракета испытывает правильное ускорение, такое же, как и в ньютоновском случае,

$$\frac{dm}{d\tau} \frac{v_e}{m},$$ где $\tau$время в системе отсчета ракеты, отнесенное к $t$к $dt = \gamma d \tau$. Итак, мы получаем $$\frac{dw}{dt} = -\frac{dm}{d\tau} \frac{v_e}{m} = -\frac{dm}{dt} \frac{\gamma v_e}{m}.$$ С другой стороны, $$\frac{dw}{dt} = \frac{dv}{dt} \gamma + \frac{d\gamma}{dt} v = \frac{dv}{dt} \gamma + \frac{dv}{dt} \frac{v^2}{c^2} \gamma^3.$$ Нахождение $d\gamma/dt$является простым, но немного длинным, поэтому я не буду повторять его здесь.

Комбинируя их, мы получаем

$$\frac{dv}{dt} \left( 1 + \frac{v^2}{c^2} \gamma^2 \right) = -\frac{dm}{dt} \frac{v_e}{m}.$$ Когда начальная скорость ракеты $v_1$, начальная масса $m_1$, конечная скорость $v_2$а конечная масса $m_2$, интегрирование этого дает $$c \left( \tanh^{-1} \frac{v_2}{c} - \tanh^{-1} \frac{v_1}{c} \right) = v_e \ln \frac{m_1}{m_2}.$$

---

Теперь давайте рассмотрим вашу проблему. У вас есть три параметра для ракеты: эффективность ракеты$v_e$, масса ракеты без топлива$m_\text{empty}$, и начальная масса топлива,$m_\text{fuel}$. Собственно, только$v_e$и$m_\text{fuel}/m_\text{empty}$имеет значение, поэтому на практике у вас есть два свободных параметра. Я оставлю вас, чтобы продолжить отсюда.

---

Хм. Я попробовал некоторые значения просто для удовольствия. Представляется, что для того, чтобы последнее ускорение было возможно,$v_e$должно быть выше$0.03c$, для чего потребовалась бы совсем ракета!

Здесь действуют три фактора...

1) Чем дальше от земли улетает космический корабль, тем меньше гравитация работает против него. Меньше топлива требуется для разгона.

2) Чем ближе космический корабль подходит к точке c, тем больше энергии/топлива требуется для ускорения космического корабля на заданную величину.

3) Сгорание топлива равно меньшей массе, что равно меньшему количеству энергии, необходимой для изменения импульса.

Как говорится, вам придется сделать расчеты, чтобы выяснить ответ на ваш вопрос.