Что делает быстрое (ac/de)ускорение в теории относительности с инерционными часами?

Это более сложный вопрос, чем вы думаете, потому что для ответа на него требуется вычисление геодезической в ​​координатах Риндлера.

Если вы ускоряетесь с некоторым постоянным ускорением$a$тогда метрика в ваших (ускоряющихся) координатах определяется как:

$$ds^2 = -\left(1 + \frac{ax}{c^2}\right)^2c^2dt^2 + dx^2$$

Вы приближаетесь к Земле с ускорением, так что давайте поставим Землю в положительное положение.$x$, что означает ускорение$a$также является положительным. В этих координатах Земля теперь ускоряется к вам, очерчивая при этом мировую линию, и вам нужно решить уравнение геодезии, задать начальные условия, а затем вычислить длину мировой линии Земли, соответствующую 1 секунде, которую вы ускоряете. для.

Должен признаться, я не знаю, как делать эти вычисления, и на самом деле я даже не знаю, имеет ли геодезическая уравнение замкнутой формы. Я искал решение этой проблемы в течение некоторого времени без везения. Если кто-нибудь знает, как сделать этот расчет, мне было бы интересно услышать, как это делается.

Но мы можем получить примерное представление следующим образом. Предположим, вы ускоряетесь в течение достаточно короткого времени, чтобы Земля не двигалась значительно, тогда длина пути мировой линии Земли — это просто прошедшее время. И мы можем очень легко вычислить это, просто установив$dx = 0$и переписать метрику как:

$$d\tau^2 = \left(1 + \frac{ax}{c^2}\right)^2dt^2$$

что сразу дает нам:

$$\frac{d\tau}{dt} = 1 + \frac{ax}{c^2}$$

В этом уравнении$x$расстояние до Земли (8 световых лет) и$a$ваше собственное ускорение (0,8$c$/сек). Подставляя эти значения в ваше уравнение, я получаю:

$$\frac{d\tau}{dt} \approx 2 \times 10^8$$

Итак, во время$1$во-вторых, вы ускоряетесь примерно$2 \times 10^8$секунд проходит на Земле.

Я собираюсь рассмотреть последнюю часть вашего вопроса, а именно, как согласовать$10$лет, прошедших по земным часам с$3.6$лет, на которые, возможно, наивно рассчитывал путешественник. Я не буду останавливаться на деталях фазы ускорения и предположу, что изменение скорости от$0$к$0.8c$происходит мгновенно.

Решение парадокса, как это часто бывает в теории относительности, связано с одновременностью . В частности, наблюдатель на Земле и путешественник не согласятся в том, что их часы начинаются с нуля в одно и то же время .

Ситуация показана на диаграмме Минковского ниже. $(x,t)$координаты представляют собой систему координат Земли, а$(x',t')$кадр путешественника, когда он движется с постоянной скоростью$v=0.8c$по направлению к Земле. Фактор Лоренца

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{5}{3}.$$

Предположим, что у наблюдателя есть часы$\text{A}$на котором он читает время$t_\text{A}$, а у путешественника есть часы$\text{B}$отображение времени$t'_\text{B}$. Предположим также, что$\text{A}$и$\text{B}$синхронизируются до того, как путешественник начнет ускоряться, так что$t_\text{A}=0$и$t'_\text{B}=0$в то же время в системе наблюдателя . В этот момент путешественник разгоняется до скорости$v=0.8c$к наблюдателю на Земле, и после этого быстрого ускорения он покоится в$(x',t')$инерционная рама. Кроме того, его начальное расстояние равно$d=8$ly, в системе наблюдателя.

Связь между обоими кадрами задается преобразованиями Лоренца:

$$\begin{align} x' &= \gamma\left[(x-d) + vt \vphantom{1^1_1}\right]\tag{1},\\ t' &= \gamma\left[t + (x-d)v/c^2\vphantom{1^1_1}\right]\tag{2}. \end{align}$$ (обратите внимание на $+$знаки, потому что путешественник движется в отрицательном направлении, а лишние $d$из-за смещения между исходными точками кадров). Путешественник покоится в своей собственной системе координат, т.е. $x'=0$, и из ур. (1) получаем его путь в системе наблюдателя: $$x = d - vt.$$ Наблюдатель (в $x=0$) читает на своих часах $\text{A}$что путешественник достигает его, когда $$t_\text{A} = d/v = 10\;\text{y},$$ и из ур. (2) находим соответствующее время в пути для путешественника: $$t'_\text{B} = \gamma\left[t_\text{A} -dv/c^2\vphantom{1^1_1}\right] = \gamma\left[t_\text{A} -t_\text{A}v^2/c^2\vphantom{1^1_1}\right] = t_\text{A}/\gamma = 6\;\text{y},$$ как и ожидалось. Итак, с точки зрения наблюдателя, часы $\text{A}$и $\text{B}$изначально были синхронизированы, но рассинхронизировались из-за замедления времени путешественника.

Что происходит с точки зрения путешественника? Прежде всего он обнаруживает, что расстояние до наблюдателя изменилось: он измеряет расстояние$d'$вдоль$x'$-ось, что означает установку$t'=0$и$x=0$. Из уравнения (2) у нас есть

$$t = dv/c^2\tag{3},$$ и подключив это к уравнению. (1) мы получаем $$d' = -x' = -\gamma\left[-d + dv^2/c^2 \vphantom{1^1_1}\right] = d/\gamma= 4.8\;\text{ly},$$ в соответствии с $t'_\text{B} = d'/v$. Но что он делает вывод о часах $\text{A}$? Из-за своего ускорения он изменился с $(x,t)$инерциальная система к $(x',t')$инерционная рама. Вместе с этим изменилось и его представление об одновременности : в $(x',t')$рамка, часы $\text{A}$и $\text{B}$ не запустились одновременно .

В самом деле, дадим наблюдателю на Земле секундные часы$\text{C}$, который устанавливается в ноль одновременно с часами$\text{B}$ по словам путешественника в$(x',t')$рамка. Другими словами,$t_\text{C}=0$в$t'=0$и$x=0$. И мы уже рассчитали в уравнении. (3) какое соответствующее время на часах$\text{A}$:

$$t_\text{A} = dv/c^2 = 6.4\;\text{y,}\quad\text{for }t_\text{C}=0\;\text{y},\tag{4}$$ другими словами $$t_\text{C} = t_\text{A} - dv/c^2.$$ И теперь парадокс разрешился, ведь когда путешественник прибывает на Землю ( $x=0$), находим из уравнения (2): $$t'_\text{B} = \gamma\left[t_\text{A} - dv/c^2\vphantom{1^1_1}\right] = \gamma\, t_\text{C},$$ или $$t_\text{C} = t'_\text{B}/\gamma = 3.6\;\text{y},$$ что согласуется с $$t_\text{C} = t_\text{A} - dv/c^2 = 10 - 6.4 = 3.6\;\text{y}.$$

ОБНОВЛЯТЬ

Что на самом деле видит путешественник, получая сигналы от часов?$\text{A}$? Увидит ли он внезапный прыжок? Нет, после разгона он увидит эти часы$\text{A}$тикает в 3 раза быстрее, чем его собственные часы, несмотря на эффект замедления времени. Причиной этого является эффект Доплера: световым сигналам требуется все меньше времени, чтобы пройти путь от наблюдателя к нему по мере его приближения к Земле. Я добавил несколько таких световых лучей на рисунке.

Предположим, у нас есть сигнал, который отправляется с часов$A$вовремя$t_\text{A,s}$. Этот сигнал будет следовать по пути

$$x = c(t - t_\text{A,s}).$$ Путешественник движется по пути $x=d-vt$, поэтому он получит сигнал, когда $c(t - t_\text{A,s}) = d-vt$, или $$t = \frac{d+ct_\text{A,s}}{c+v}.$$ Это соответствует времени $t'_\text{B,r}=t/\gamma$на дорожных часах (нижний индекс $\text{r}$означает «получено»), что означает $$t'_\text{B,r} = \sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}\left(d/c +t_\text{A,s}\right) = \frac{1}{3}(8 + t_\text{A,s}). \tag{5}$$ Так он видит эти часы $\text{A}$тикает в 3 раза быстрее, чем его собственный. Он получит сигнал $t_\text{A,s}=-8$ты в $t'_\text{B,r}=0$у; он получит сигнал $t_\text{A,s}=-6$ты в $t'_\text{B,r}=2/3$y и так далее, пока не увидит $t_\text{A,s}=10$когда $t'_\text{B,r}=6$y, когда он прибывает на Землю.

Вот диаграмма пространства-времени, показывающая, что происходит и как решается вопрос о том, что одновременно, а что нет.

Вам нужно знать две вещи о диаграммах пространства-времени. Диагональные расстояния вычисляются по теореме Пифагора, но со знаком минус. Таким образом, время, за которое путешественник преодолевает расстояние$X$во время$T$(задницу видно на земле)

$$t^2 = T^2 - X^2$$ .

См. диаграмму ниже, где отмечены эти разные моменты времени.

Давайте посчитаем: вы$X=8$световых лет от Земли. Вы синхронизировали свои часы с тем, что и вы, и Земля начали с$T=0$. Однако часы на Земле, которые вы на самом деле видите, показывают$T=-X=-8$лет с тех пор, как это время потребовалось свету, чтобы добраться до вас. (Световой конус нарисован пунктирным оранжевым цветом).

Затем вы ускоряетесь (безумно быстро), чтобы достичь$v=0.8c$через секунду. Вы все равно будете читать$T=-X=-8$лет на земных часах (приходит тот же самый свет).

Однако теперь ваш взгляд на то, что одновременно происходит на земле, изменился. Это потому, что ваша линия одновременности изменилась. На этой диаграмме выше (и ниже) я также нарисовал линии одновременности розовыми пунктирными линиями. (Световой конус нарисован пунктирным оранжевым цветом). Правило пространственно-временных диаграмм состоит в том, что линия одновременности образует с лучом света тот же угол, что и мировая линия путешественника (фиолетовые линии).

Так как вы путешествуете в$v=0.8$($c=0$) ваша линия одновременности на диаграмме имеет наклон, равный$1/v$. Эта линия пересекает мировую линию Земли в$T=X*v=8*0.8=6.4$лет. Таким образом, вы заключаете, что сейчас вы находитесь одновременно с Землей через 6,4 года в будущем. Но вы все еще видите свет на 8 лет в прошлом.

Теперь вы можете видеть, что когда вы приближаетесь к Земле, вы считаете земное будущее одновременным с вашим временем. Однако часы на Земле идут медленнее, чем ваши, и вы увидите, как вы неуклонно догоняете земное будущее, и к тому времени, когда вы прибыли, вы находитесь в том же времени.

Я проиллюстрировал это ниже, но убрал световой конус для ясности.

Это то, как вы чувствуете это на корабле. Вы$X=8$да, и поездка (с точки зрения Земли) займет$T=X/v=10$годы. Для вас путешествие займет

$$t^2 = T^2 - X^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$$ так $t=6$лет. Таким образом, когда вы приближаетесь к Земле, вы направляетесь к свету, излучаемому Землей, и часы, на которых вы находитесь, будут идти от нее. $T=-8$лет, когда вы начнете $T=10$лет, когда вы закончите. Таким образом, наблюдаемые часы на Земле будут выглядеть так, как будто они тикают со скоростью $(10+8)/6=3$раза быстрее, чем у вас.

Наконец, на последнем рисунке ниже я нарисовал, что происходит, когда человек уходит от земли.

В этом случае вы будете одновременно с земным прошлым (фиолетовые линии). Но информация, поступающая к вам с Земли, все равно будет располагаться в хронологическом порядке (оранжевые световые линии).

Несмотря на то, что относительность меняет вашу точку зрения на то, что представляет собой одновременность, вы никогда не сможете заглянуть в будущее, двигаясь быстро (в любом направлении).

Надеюсь это немного поможет.

Это не новый ответ, но он слишком длинный для комментария и может помочь избежать мгновенной путаницы для любого новичка, который наткнется на это.

В ОП есть путешественник в 8 световых годах от Земли, который ускоряется от земной системы отсчета до$v=.8$(в направлении земли) за одну секунду (по измерению путешественника) и спрашивает, сколько времени проходит на земле во время этого ускорения.

Есть два очень разных способа интерпретации этого вопроса.

Вопрос А: сколько времени, по словам путешественника, проходит по земным часам во время ускорения?

Вопрос Б: сколько времени, по словам земного наблюдателя, проходит по земным часам во время ускорения?

Если ускорение мгновенное, очень легко увидеть, что ответы на эти вопросы равны «6,4 года» для вопроса А и «ноль» для вопроса Б.

Поскольку фактический вопрос делает ускорение не мгновенным, а, по словам путешественника, продолжительностью в 1 секунду, точные ответы являются приближениями к 6,4 годам и нулю.

Выработать поправку к вопросу А и легко, и скучно. Выработать поправку к вопросу Б одновременно и интересно, и сложно. Ответ Джона Ренни касается только вопроса B, где он обнаруживает, что поправка составляет примерно 14 000 секунд.

Что делает быстрое ускорение/замедление в теории относительности с инерционными часами?

Ничего особенного. Подумайте о световых часах с параллельными зеркалами, используемых в Википедии для простого вывода о замедлении времени из-за относительной скорости . Обратите внимание, что это связано с относительной скоростью. Вам нужно некоторое ускорение, чтобы получить эту относительную скорость, но важна именно относительная скорость.

Резюме: если я разгонюсь до 0,8с за 1 секунду, сколько времени пройдет для наблюдателей в моей начальной инерциальной системе отсчета?

Одна секунда! РЖУ НЕ МОГУ! Но давайте просто скажем, что ваша средняя скорость составляет 0,4с. Использование фактора Лоренца

$$\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ дает коэффициент замедления времени 0,9165. Если мы говорим, что вы двигаетесь, а они не должны избегать увязнуть в «парадоксе близнецов» , то одна секунда вашего времени составляет примерно 1,1 секунды их времени. Обратите внимание, что на самом деле неправильно использовать вашу среднюю скорость. Замедление времени увеличивается квадратично, а не линейно. См. Wikipedia для некоторых более сложных выражений .

Я начинаю с расстояния 8 световых лет от Земли, в состоянии покоя относительно Земли, и наблюдаю, что земное время равно t=0. Конечно, технически мне потребуется 8 лет, чтобы узнать это (скорость времени прохождения света), но я считаю, что специальная теория относительности не против моего высказывания «в настоящее время t = 0 на Земле», поскольку я нахожусь в той же системе отсчета. как Земля.

Без проблем.

Следя за земными часами, я разгоняюсь до 0,8с за 1 секунду. Поскольку я ускоряюсь, я знаю, что земные часы будут идти быстрее, чем мои. Вопрос в том, насколько быстрее и где он окажется после того, как я закончу свою одну секунду ускорения до 0,8с.

Вы должны забыть об ускорении. Мы говорим о долях секунды. Это ничто по сравнению с вашим десятилетним путешествием. Вычислите коэффициент замедления времени, и это$\sqrt{1-0.8^2}$или 0,6. Ваше путешествие займет шесть лет судового времени.

При 0,8с расстояние до Земли теперь составляет 4,8 световых года (минус то небольшое расстояние, которое я проехал во время ускорения). Земные часы теперь идут медленнее моих из-за замедления времени. Итак, когда прошло 6 моих лет, по земным часам прошло менее 6 лет.

Нет. Расстояние до Земли 8 световых лет. Вы прекрасно знаете, что это расстояние не изменится только потому, что вы едете быстро. Вы знаете о сокращении длины и о том, что если вы попытаетесь измерить расстояние, то получите 4,8 световых года. Но вы знаете, что изменились ваши измерения, вот и все. И вы должны знать, что ваше время замедлено, и что земные часы будут отсчитывать десять лет, пока вы путешествуете.

Когда я приближаюсь к Земле, я «замедляюсь» до земной системы отсчета, так что я буду в покое, когда я действительно прибуду на Землю. Конечно, замедление — это просто ускорение в другом направлении, так что, повторюсь, земные часы идут быстрее, чем мои.

Забудьте об ускорении и торможении. Земные часы отличаются от ваших часов на четыре года.

И еще раз вопрос: за эту 1 секунду замедления сколько времени прошло по земным часам?

Мы говорим о десятых долях секунды. Это ничто по сравнению с четырьмя годами. Забудь это.

Что меня раздражает в этой проблеме: за 6 лет, которые я путешествовал со скоростью 0,8с 0,8с, земные часы отсчитывали только 3,6 года по замедлению времени.

Вы втягиваетесь в Парадокс Близнецов. Держаться подальше. Просто сфокусируйтесь на световых путях в световых часах с параллельными зеркалами, например, /\/\/\/\ и вот это: ||.

К тому времени, когда я прибуду на Землю, земные часы, должно быть, отсчитывают 10 лет, так как говорят, что я путешествую со скоростью 0,8с в течение (большинства) 8 световых лет.

Ага.

Единственный способ, которым я могу согласовать эти числа (10 лет минус 3,6 года или 6,4 года), состоит в том, что моя 1 секунда ускорения и замедления заняла 3,2 земных года (около 10 ^ 8 секунд).

Неа.

Это кажется большим, и я не могу получить числа/формулы, чтобы получить это, но, с другой стороны, кажется несколько разумным, что количество времени, которое проходит, зависит только от моей конечной скорости (0,8c), а не от того, насколько быстро я достиг такой скорости.

Как я уже сказал, вам нужно ускорение для относительной скорости, но именно последнее делает показания часов разными. Придумайте сценарий с таким же ускорением и вдвое большим расстоянием. Между вашими часами и земными часами разница в восемь лет. Плюс-минус несколько десятых секунды или две.