Как я могу рассчитать время прохождения расстояния с помощью уравнения Циолковского?

Нет, вы не можете использовать среднее ускорение так, как вы предлагаете, потому что уравнение$t = \sqrt{\frac{2\,s}{a}}$предполагает постоянное ускорение.

Вам нужно описать систему с помощью дифференциального уравнения, учитывающего динамику системы: поскольку вы учитесь в качестве хобби, вы, возможно, не видели многого из этого. Ваш последний абзац является правильным рассуждением и ближе к тому, что вам нужно. Правильная формулировка — «решить», «инвертировать» или «перестроить» уравнение, но «обратное» довольно выразительно и ближе всего к «инвертировать».

Вам нужна дополнительная информация, чтобы решить вашу проблему: вам нужна модель того, как масса вашей ракеты уменьшается со временем. Самая простая (и, вероятно, довольно точная модель) состоит в том, что скорость уменьшения массы есть некоторая постоянная скорость массового расхода: назовем это$q$.

Вернемся к дифференциальному уравнению, из которого выведено уравнение Циолковского. Рассчитываем изменение скорости ракеты$\mathrm{d}\,v$после того, как он бросил массу$\mathrm{d}\,m$сзади на скорости$v_e$относительно него: относительно системы отсчета в какой-то момент, до того, как масса будет брошена, полный линейный импульс системы равен нулю: таким образом, это должен быть импульс относительно этой системы отсчета после того, как масса будет брошена. Увеличение импульса ракеты равно$m\,\mathrm{d} v$, который должен быть уравновешен импульсом брошенной массы в противоположном направлении так, чтобы:

$$m\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} m} = v_e$$

Это дифференциальное уравнение, которое решается, чтобы получить уравнение Циолковского. С небольшим жонглированием мы перестраиваем его так:

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t} = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}v^2}{\mathrm{d} s} = \frac{v_e}{m}\,\frac{\mathrm{d}\,m}{\mathrm{d}t} = \frac{v_e\,q}{m}\tag{1}$$

Первым шагом является стандартное тождество, которое преобразует ускорение, т.е. скорость изменения$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t}$скорости по времени$t$, в скорость изменения по отношению к пройденному расстоянию$s$. Теперь из уравнения Циолковского имеем$m(v) = m_0\,\exp\left(-\frac{v-v_0}{v_e}\right)$, где$v_0$начальная скорость и$m_0$начальная масса: когда мы подставляем это в уравнение (1), мы получаем:

$$\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}v^2}{\mathrm{d} s} = v\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} s}=\frac{v_e\,q}{m_0}\,\exp\left(\frac{v-v_0}{v_e}\right)\tag{2}$$

Это дифференциальное уравнение, которое вы должны проинтегрировать, чтобы получить пройденное расстояние как функцию$v$. Дайте мне знать, как вы идете с этим. Также из (1) получаем вышеуказанным способом из инвертированного уравнения Циолковского:

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t} = \frac{v_e}{m}\,\frac{\mathrm{d}\,m}{\mathrm{d}t} = \frac{v_e\,q}{m_0}\,\exp\left(\frac{v-v_0}{v_e}\right)\tag{3}$$

которое является дифференциальным уравнением, которое вы должны решить, чтобы получить$v$как функция времени.

Время как функция расстояния получается из этого последнего уравнения. Интегрируя это последнее уравнение, вы получаете

$$v(t) = v_o+v_e\log\left(\frac{m_0}{m_0 - q\, t}\right)$$

а затем вам нужно проинтегрировать это, потому что теперь у вас есть дифференциальное уравнение$\frac{\mathrm{d}\,s}{\mathrm{d}\,t}=v_0+ v_e\log\left(\frac{m_0}{m_0 - q\, t}\right)$. Эта последняя интеграция оставляет вам:

$$s(t) = v_e\, \left(t-\frac{m_0}{q}\right) \log \left(\frac{m_0}{m_0-q\, t}\right)+t\, (v_0+v_e)$$

Чтобы найти время, чтобы пройти определенное расстояние, нужно будет сделать численно, как, учитывая$s$, у вас есть трансцендентное уравнение в$t$.