Ускорение во вращающейся системе координат

Question

Ускорение во вращающейся системе координат

подготовка к воротам

Ускорение

[...]

Применяя приведенное выше преобразование из неподвижной во вращающуюся систему координат трижды, абсолютное ускорение частицы можно записать как:
$\begin{aligned} а & "=" \frac{г^{2} р}{д т^{2}} "=" \frac{д}{д т} \frac{д р}{д т} "=" \frac{д}{д т} ([\frac{г р}{г т}] + ю \times р) \\ "=" [\frac{г^{2} р}{г т^{2}}] + ю \times [\frac{г р}{г т}] + \frac{д ю}{д т} \times р + ю \times \frac{д р}{д т} \\ "=" [\frac{г^{2} р}{г т^{2}}] + ю \times [\frac{г р}{г т}] + \frac{д ю}{д т} \times р + ю \times ([\frac{г р}{г т}] + ю \times р) \\ "=" [\frac{г^{2} р}{г т^{2}}] + \frac{д ю}{д т} \times р + 2 ю \times [\frac{г р}{г т}] + ю \times (ю \times р) . \end{aligned}$ $\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&={\frac {\operatorname {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(\left[{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}\ \right)\\&=\left[{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}\right]+{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\operatorname {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}\\&=\left[{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}\right]+{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\operatorname {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left[{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}\ \right)\\&=\left[{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}\right]+{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\operatorname {d} t}}\times {\boldsymbol {r}}+2{\boldsymbol {\omega }}\times \left[{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}}{\operatorname {d} t}}\right]+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})\ .\end{aligned}$

Здесь я увидел, что последнее слагаемое вообще $\mathbf{\omega} {\times}\left(\mathbf{\omega} {\times} \mathbf{r} \right)$ . Другие термины, возможно, аннулируют.

Вопрос: Почему задачи с вращающейся системой отсчета требуют использования неинерциальной системы отсчета вместо наземной системы отсчета для общих расчетов?

Нат

" обнулить " , например, когда

\frac{d r}{d t} = 0

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{0}$ и

\frac{d ω}{d t} = 0

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{\omega}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{0}$ ?

Джон Ренни

Я не уверен, что проблемы с вращающейся рамкой требуют использования неинерциальных рамок . В общем, я бы посоветовал учащимся избегать работы в неинерциальных системах отсчета, потому что они могут быть неинтуитивными и легко сделать ошибки.

Роджер Дж. Барлоу

Соберите друзей и найдите детскую площадку с каруселем — чем больше, тем лучше. (Игнорируйте любые знаки «только для детей», так как это в интересах науки.) Наберитесь скорости, а затем почувствуйте силы: попробуйте несколько простых экспериментов, таких как раскачивание маятника. Это даст вам некоторую интуицию, чтобы понять математику.

Ответы (2)

Ускорение во вращающейся системе координат

" обнулить " , например, когда $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{0}$ и $\frac{\mathrm{d}\mathbf{\omega}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{0}$ ?
Я не уверен, что проблемы с вращающейся рамкой требуют использования неинерциальных рамок . В общем, я бы посоветовал учащимся избегать работы в неинерциальных системах отсчета, потому что они могут быть неинтуитивными и легко сделать ошибки.
Соберите друзей и найдите детскую площадку с каруселем — чем больше, тем лучше. (Игнорируйте любые знаки «только для детей», так как это в интересах науки.) Наберитесь скорости, а затем почувствуйте силы: попробуйте несколько простых экспериментов, таких как раскачивание маятника. Это даст вам некоторую интуицию, чтобы понять математику.

Дэвид Хаммен · Answer 1

Почему задачи с вращающейся системой отсчета требуют использования неинерционных систем вместо наземных для общих расчетов?

Они не делают. Использование вращающейся системы отсчета иногда может облегчить решение проблемы, чем другие варианты системы отсчета, особенно если неинерционные эффекты можно игнорировать или они встроены. Что касается последнего, то фиктивная центробежная сила «встроена» при использовании наземной рамы. Ускорение свободного падения g представляет собой векторную сумму ускорения свободного падения и центробежного ускорения.

Что касается первого, эффект Кориолиса обычно игнорируется во вводных физических задачах, которые вычисляют, как далеко летит пушечное ядро. Предполагая, что гравитационное ускорение является постоянным вектором, и игнорирование аэродинамического сопротивления и эффекта Кориолиса приводит к хорошей простой модели, параболическому полету, которую студенты могут использовать для решения задач. Игнорирование эффекта Кориолиса согласуется с этими другими упрощающими предположениями.

Эти предположения не согласуются с пушечным ядром (или каким-либо другим баллистическим снарядом), который поднимается высоко над земной атмосферой только для того, чтобы вернуться на Землю на другом континенте. Однако это проблема для студентов, изучающих глобальную термоядерную войну, а не для студентов, изучающих вводную физику.

Независимо от того, встроены ли эффекты вращения и используется ли наземный фрейм, они не зависят друг от друга. В геофизике принято давать реально измеренное гравитационное ускорение, которое, как вы указываете, меньше истинного грав. ускорение, вызванное вращением Земли. В случае метеорологии: в уравнениях метеорологических моделей опущен центробежный член. Если бы центробежный член не был опущен, то центробежный эффект был бы введен дважды: сначала с использованием измеренного ускорения свободного падения, а затем еще раз с центробежным членом.

Клеонис · Answer 2

Присоединяясь к ответу, предоставленному Дэвидом Хамменом:
в зависимости от того, что вы хотите вычислить, вы делаете оценку того, что более практично.

Несколько примеров:
Допустим, вы хотите рассчитать баллистические траектории в упрощенном случае Земли без атмосферы. У вас есть компьютер, и вы умеете программировать вычисления.

Тогда целесообразно использовать невращающуюся систему координат, движущуюся вместе с центром Земли. Вы находите начальную скорость и направление снаряда и, используя это, численно определяете, как долго длится его полет. Во время полета Земля повернулась под летящим снарядом, поэтому последним шагом в этом расчете является учет того, насколько Земля повернулась во время полета. Преимущество использования инерциальной системы координат: траектория полета представляет собой кеплерову орбиту; очень просто вычислить.

Теперь предположим, что вам нужна более точная симуляция, и вы хотите принять во внимание трение о воздух. Воздушная масса Земли движется вместе с Землей, поэтому она имеет скорость относительно невращающейся системы координат, которую вы должны учитывать.

Другой пример случая, когда все входные данные даны относительно системы координат, вращающейся вместе с Землей: метеорология. При использовании системы координат, которая вращается вместе с Землей, все входные данные поступают прямо. Таким образом, это был бы случай, когда более практично использовать систему координат, вращающуюся вместе с Землей.

Общее замечание:
Как подчеркивал Джон Ренни: в основе понимания движения лежит мышление в терминах движения относительно инерциальной системы координат.

Для использования законов движения есть только один выбор системы отсчета: класс эквивалентности инерциальных систем координат. Здесь нет исключений; «омега» в выражении преобразования — это угловая скорость вращающейся системы координат относительно класса эквивалентности инерциальных систем координат.
То есть: уравнения для вращающейся системы координат работают , потому что они ссылаются на инерциальную систему координат.

Ускорение во вращающейся системе координат

подготовка к воротам