В чем преимущество канонического преобразования при получении эффективного гамильтониана?

Предположим, у нас есть гамильтониан

ЧАС "=" ЧАС 0 + λ В

где ЧАС 0 является невозмущенным гамильтонианом, о котором мы знаем собственные вкусы, и В является возмущением.

В эффективном гамильтоновом подходе с использованием канонического преобразования мы преобразуем гамильтониан через

ЧАС е ф ф "=" е С ЧАС е − С

где С † "=" − С , так е С является эрмитовым оператором, поэтому мы фактически выполняем унитарное преобразование гамильтониана. Затем расширяем этот термин, используя тождество

е С ЧАС е − С "=" ЧАС + [ С , ЧАС ] + 1 2 [ С , [ С , ЧАС ] ] + 1 3 ! [ С , [ С , [ С , ЧАС ] ] ] + . . .

мы получаем эффективный гамильтониан как

ЧАС е ф ф "=" ЧАС 0 + λ В + [ С , ЧАС 0 ] + λ [ С , В ] + 1 2 [ С , [ С , ЧАС 0 ] ] + λ 1 2 [ С , [ С , В ] ] + . . .

Но после преобразования вышеуказанный гамильтониан выглядит сложнее исходного. На этом шаге я не вижу причин, по которым мы делаем каноническое преобразование, чтобы получить эффективный гамильтониан.

В книге сказано, что если мы сможем найти оператор С который удовлетворяет

λ В + [ С , ЧАС 0 ] "=" 0

тогда мы можем исключить второй и третий члены эффективного гамильтониана, но у нас все еще есть члены бесконечного ряда в гамильтониане, который все еще выглядит сложным.

В чем заключается суть этого канонического подхода к преобразованию при получении эффективного гамильтониана?

Существует еще один метод, не связанный с каноническим преобразованием, — метод проекционного оператора Фешбаха, приводящий к эффективному гамильтониану. Он обсуждается на en.wikipedia.org/wiki/Feshbach%E2%80%93Fano_partitioning для конкретной ситуации, но область его применения гораздо шире. В основном замкнутый результат получается на подпространстве, которое связано с данным оператором проектирования п .

Ответы (2)

Каноническое преобразование

Канонические преобразования гамильтониана задаются выражением

ЧАС ′ "=" е С ЧАС е − С ,
с С антиэрмит. Идея состоит в том, чтобы устранить некоторые члены в гамильтониане, изменив базис. Мы обмениваем старые степени свободы на новые в надежде, что новый гамильтониан станет легче решать. Конкретный выбор С зависит от приложения. Каноническое преобразование с
[ С , ЧАС 0 ] "=" − λ В ,
называется преобразованием Шриффера-Вольфа . Больше приложений можно найти здесь .

Преобразование Шриффера-Вольфа

Идея этой схемы состоит в том, чтобы облегчить проекцию гамильтониана в некоторое низкоэнергетическое подпространство до определенного порядка в λ . Рассмотрим случай, когда результат первого порядка равен нулю:

ЧАС е ф ф "=" п г ЧАС 0 п г + п г В п г "=" Е г п г ,
где п г — оператор проектирования на (вырожденное) основное состояние невозмущенной системы. Примером может служить механизм суперобмена Андерсона для модели Хаббарда в пределе перескока через слабые сайты. В этой модели туннелирование между сайтами происходит только через виртуальные процессы более высокого порядка.

Итак, мы хотим устранить λ В от гамилониана, что даст представление, в котором процессы более высокого порядка проявляются в гамильтониане. Чтобы лучше следить за порядком в λ , мы принимаем ЧАС ′ "=" е λ С ЧАС е − λ С . Выбрав С так что [ С , ЧАС 0 ] "=" В , вы можете избавиться от всех терминов в первом порядке в λ в преобразованном гамильтониане:

ЧАС ′ "=" ЧАС 0 + λ 2 2 [ В , С ] + О ( λ 3 ) .
Каждый термин в ЧАС ′ за исключением ЧАС 0 представляет процесс более высокого порядка. Тогда до второго порядка эффективный гамильтониан примет вид
ЧАС е ф ф "=" п г ЧАС ′ п г "=" Е г п г + λ 2 2 п г [ В , С ] п г .

Пример

В качестве примера рассмотрим вырожденное основное состояние с Е г "=" 0 и разреши п е — проекция на возбужденное подпространство с невозмущенной энергией Е е . Кроме того, предположим, что В только соединяет недиагональные элементы между основным состоянием и этим возбужденным состоянием:

В "=" п г В п е + п е В п г .
Теперь возьми
С "=" п г В п е − п е В п г Е е .
и обратите внимание, что С † "=" − С и что
[ С , ЧАС 0 ] "=" 1 Е е [ п г В п е − п е В п г , ЧАС 0 ] "=" п г В п е + п е В п г "=" В .
Преобразованный гамильтониан становится
ЧАС ′ "=" ЧАС 0 + λ 2 2 Е е [ В , п г В п е − п е В п г ] "=" ЧАС 0 + λ 2 Е е ( п е В п г В п е − п г В п е В п г ) .
Обратите внимание на интерпретацию обоих терминов второго порядка. Термин п г В п е В п г представляет собой двухэтапный процесс туннелирования из основного состояния в возбужденное состояние и обратно. Эффективный низкоэнергетический гамильтониан становится
ЧАС е ф ф "=" п г ЧАС ′ п г "=" − λ 2 Е е п г В п е В п г .
В упомянутой выше модели суперобмена Андерсона этот эффективный гамильтониан представляет собой антиферромагнитное обменное взаимодействие.

В чем разница между стандартной теорией возмущений (рассчитывающей энергию и волновые функции первого и второго порядков, описанные в стандартной книге по КМ) и этим эффективным подходом к теории возмущений? Если мы отбросим члены более высокого порядка в эффективном гамильтониане, не будет ли это такой же процедурой, как вычисление энергии первого или второго порядка в теории возмущений? На самом деле, я читал книги о фрустрированном магнетизме . В этой главе представлен эффективный гамильтоновский подход к решению сильно вырожденного основного состояния.
@ user42298 Имхо нет никакой разницы. Это просто удобный трюк. Поскольку вы говорите об эффективном гамильтониане, я предположил какой-то пертурбативный подход. Кроме того, преобразованный гамильтониан ЧАС ′ эквивалентен оригинальному, поэтому я не понимаю, почему вы называете его эффективным. Он становится эффективным только тогда, когда вы проецируете его на основное состояние или ограничиваете его основным состоянием. При наличии поправки первого порядка эффективный гамильтониан равен Е 0 п г + λ п г В п г что является результатом теории вырожденных возмущений первого порядка.
@ user42298 Я нашел непертурбативное применение канонического преобразования. Идея состоит в том, чтобы избавиться от определенного члена, а затем вернуть гамильтониану замкнутую форму.
Итак, вы говорите, что само каноническое преобразование такое же, как исходный гамильтониан, поскольку это просто унитарное преобразование. Если мы спроецируем его на подпространство основного состояния или отрежем члены более высокого порядка, то он станет эффективным гамильтоновым. Как правило, преобразованный гамильтониан включает недиагональные компоненты, поэтому описание основного состояния с использованием только эффективного гамильтониана не является точным. Но если преобразование создает блочно-диагональную форму или недиагональные компоненты для подпространства основного состояния оказываются небольшими, мы можем легко описать основное состояние, используя меньше базиса.

В нынешнем виде эффективный гамильтониан содержит ту же информацию, что и исходный. Но учтите, что при условии λ В + [ С , ЧАС ₀ ] "=" 0 , С пропорциональна λ так что остальные условия в порядке λ 2 и выше. Таким образом, усечение путем опускания этих терминов дает правильный по порядку результат. λ . Я предполагаю, что это - мотивация позади процедуры. В книге об этом ничего не сказано?

Я думаю, что ваш ответ правильный. Во введении к этой главе говорится «преобразование некоторых степеней свободы и создание эффективного взаимодействия между оставшимися». Чтобы точно решить гамильтониан, мы должны искать все гильбертово пространство. Но с помощью такого преобразования мы можем по крайней мере удалить член первого порядка, поэтому нам не нужно искать это пространство. Кроме того, если мы урежем члены более высокого порядка эффективного гамильтониана, мы сможем снова значительно уменьшить гильбертово пространство. Я думаю, что этот тип редукции является сущностью канонического преобразования.
@user42298 user42298 Почему вы хотите избавиться от наиболее значимого члена возмущения, если оно не равно нулю? Для меня это имеет смысл только тогда, когда результат первого порядка равен нулю. Возможна ли вообще эта процедура, если ваше невозмущенное подпространство имеет пертурбативную поправку первого порядка?
В чем преимущество канонического преобразования при получении эффективного гамильтониана?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v