В чем разница между «символами Кристоффеля» и «аффинной связью»

Они очень тесно связаны — настолько, что символы Кристоффеля обычно также называют «коэффициентами соединения». В искривленном пространстве сравнение одного вектора (или другого математического объекта — тензора, n-формы и т. д.) с другим — не такая простая задача, как в красивом плоском евклидовом пространстве. Учебник Мизнера, Торна и Уиллера «Гравитация» действительно детально прорабатывает концепции, чтобы сделать их ясными. По сути, вам нужно вычислить некоторые поправки при дифференцировании в искривленном пространстве, иначе вы получите аномальные ответы, которые зависят от деталей вашего расчета.

Аффинная связь — это концептуальная связь между двумя очень близкими точками, в которых находятся векторы, которые вы хотите сравнить. Символы Кристоффеля — это средства исправления вашего плоского пространства, наивной дифференциации для учета кривизны пространства, в котором вы делаете свои вычисления, между этими двумя точками. Таким образом, вы могли бы даже назвать символы Кристоффеля «тем же самым», что и аффинную связность, в смысле подобно тому, как называть вектор и его компоненты в некоторой конкретной системе координат «одним и тем же».

Позвольте мне немного уточнить ответ Эндрю и, возможно, представить немного более математическую перспективу.

При построении искривленных пространств (т. е. многообразий ) обычно рассматриваются векторы, исходящие из точки$p$как полностью отличные от векторов, исходящих из точки$q$. Иными словами, к каждой точке искривленного пространства мы присоединяем целое векторное пространство, полное векторов (называемое касательным пространством в этой точке). Загвоздка в том, что касательное пространство, присоединенное к точке$p$может не иметь ничего общего с касательным пространством, присоединенным к другой точке$q$.

Вот тут-то и появляется понятие аффинной связи . Как отмечают Википедия и Эндрю, аффинную связь можно использовать для «соединения» векторов, находящихся в разных точках. Этот процесс называется параллельным транспортом . Интуитивно это предполагает скольжение вектора по «прямой линии» ( геодезической ).

Конечно, поскольку данное искривленное пространство может быть действительно искривленным, «прямая линия» может не выглядеть как прямая линия в привычном нам плоском евклидовом пространстве. Например, прямые линии на поверхности сферы на самом деле представляют собой большие окружности , как экватор.

Сказав все это, позвольте мне ответить на ваш актуальный вопрос.

Грубо говоря, аффинная связь — это функция, которая вводит векторные поля и выводит векторные поля и удовлетворяет определенным правилам (я не буду здесь вдаваться). Заданное пространство может иметь более одной аффинной связи, но обычно нам нравится выбирать конкретную связь, называемую связью Леви-Чивиты .

Теперь есть еще одна часть терминологии, которая необходима здесь, и это понятие движущейся системы отсчета . По сути, движущаяся система отсчета - это выбор основы для каждого касательного пространства (которое часто требуется в некотором смысле «непрерывно меняться»).

Итак, при наличии аффинной связи и выбора подвижной системы отсчета символы Кристоффеля являются в некотором смысле компонентами аффинной связи по отношению к базису, определяемому системой отсчета. Другими словами, аффинная связь — вместе с подвижной системой отсчета — определяет символы Кристоффеля. Как отмечает Эндрю, это похоже на то, как по заданному вектору мы можем определить компоненты этого вектора относительно базиса.

И наоборот, по заданному набору символов Кристоффеля можно построить аффинную связь, для которой они являются компонентами относительно некоторого локального репера. Опять же, аналогия с векторами и базисами работает и здесь.

Я хотел бы предоставить свою песчинку.

В древнегреческой геометрии инструментами, позволяющими изучать определенные установки, были линейка и компас. Компас позволяет нам измерять расстояния, а линейка — определять параллелизм. Точно так же нам нужны два инструмента для развития дифференциальной геометрии, т. е. метрика и (аффинная) связность.

В этой аналогии связь Кристоффеля представляет собой градуированную линейку, построенную каким-то образом с помощью компаса.

Таким образом, связность Кристоффеля является частным случаем аффинной связности.