Тензоры, определяемые законами преобразования, являются тензорами в векторном пространстве или тензорными полями?

В физике часто можно увидеть тензоры, определяемые свойствами преобразования, связывающими компоненты объекта в разных системах координат.

Однако существует два способа представить себе тензор: тензор в конкретном векторном пространстве (в геометрическом контексте, рассматривая гладкие многообразия, это был бы единственный тензор, расположенный в точке) и тензорное поле (в геометрическом контексте, рассматривая гладкие многообразия, это будет тензор, расположенный в каждой точке).

Первая точка зрения: у нас есть векторное пространство$V$, в таком случае а$(r,s)$-тензор является полилинейным отображением

$$T:V\times \cdots \times V\times V^\ast \times\cdots \times V^\ast \to \mathbb{R}$$

где есть$r$копии$V$и$s$копии$V^\ast$.

Вторая точка зрения: у нас есть гладкое многообразие$M$с касательным пучком$TM$и кокасательное расслоение$T^\ast M$. Если$\Gamma(TM)$пространство сечений$TM$и аналогично$\Gamma(T^\ast M)$пространство сечений$T^\ast M$тензорное поле типа$(r,s)$это$C^\infty(M)$-многолинейная карта

$$T : \Gamma(TM)\times \cdots \Gamma(TM)\times \Gamma(T^\ast M)\times\cdots \times \Gamma(T^\ast M)\to C^\infty(M)$$

то есть требуется$r$векторные поля,$s$поля ковектора и выводит функцию, такую, что если$f\in C^\infty(M)$у нас есть

$$T(X_1,\dots, fX_i,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_s)=fT(X_1,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_s)$$

для любого$i$и аналогично для$\omega$записи.

Вопрос здесь в следующем: традиционное определение тензоров физиков, встречающееся во многих учебниках по математической физике, учебниках по электродинамике и многих учебниках по теории относительности, основанное на свойствах преобразования, определяет тензор в конкретном векторном пространстве или тензорном поле?

Я спрашиваю об этом, потому что часто можно увидеть злоупотребление языком, называя тензорное поле просто «тензором», а векторное поле просто «вектором». Я просто хочу знать, предназначено ли это определение для определения тензора или тензорного поля.