Что такое псевдотензор на самом деле и как его определить?

У меня есть некоторые проблемы с понятием «псевдотензор». Википедия различает это и тензорную плотность (например, здесь , где оба понятия используются одновременно), в то время как, например, в Mathworld Эрика Вайсштейна говорится, что

Псевдотензор иногда также называют тензорной плотностью.

Это два явно несовместимых утверждения, и если меня спросят, я склонен полагать, что определение псевдотензора в Википедии, кроме синонима плотности тензора, не может быть строго сформулировано, т. е. такого понятия не существует. Цель этого вопроса состоит в том, чтобы подтвердить или опровергнуть это утверждение математически. Некоторые детали следуют, чтобы оправдать мой случай. «Псевдо» используется в значении «Википедии»: изменение знака при инверсии, что бы ни означала инверсия (обсуждается ниже).

Я был бы признателен, если бы ответчики прочитали вопрос полностью и конкретно рассмотрели мою проблему (и, если возможно, используя мой «язык») , а не использовали «стандартные» определения или примеры. Никакого «смотрения на что-то в зеркало», если только вы не можете поместить это в формулы и утверждать, что это какое-то пассивное или активное преобразование. Кроме того, имейте в виду, что «обычные» источники в вашей стране / учебной программе могут быть недоступны для меня, поэтому я был бы очень признателен, если бы при их цитировании вы могли также процитировать соответствующую часть.

Учитывая это, я понимаю, что все эти величины определяются через формулы, их элементы в данных системах координат претерпевают преобразования. Однако в большинстве источников пренебрегают различием между пассивными и активными преобразованиями и, что еще хуже, между ориентацией векторного пространства и ориентацией его основы . Для простоты предположим только линейные преобразования линейных пространств; это должно быть WLOG для целей вопроса, как указано.

Итак, при пассивном преобразовании сравниваются разложения одной и той же величины по двум основаниям.$E = (e_1, \ldots, e_n)$и$F = (f_1, \ldots, f_n)$, где$f_i = S^j_{\ i} e_j$,$S = (S^k_{\ l})_{k,l=1}^n \in GL(n)$. А$k$раз ковариантны и$l$умножить на контравариантную тензорную плотность$T$веса$w$преобразует, по известному мне определению, как

$$\tilde T^{i_1,\ldots,i_l}_{j_1,\ldots,j_k} = (\det S)^w\ S^{m_1}_{\hphantom{m_1}j_1} \ldots S^{m_k}_{\hphantom{m_k}j_k}\ (S^{-1})^{i_1}_{\hphantom{i_1}n_1} \ldots (S^{-1})^{i_l}_{\hphantom{i_l}n_l}\ T\strut^{n_1, \ldots, n_l}_{m_1, \ldots, m_k}$$ где $T\strut^\ldots_\ldots$и $\tilde T^\ldots_\ldots$обозначают компоненты в $E$И в $F$, соответственно. (Соглашение о знаках $w$может отличаться.)

Поскольку мы смотрим на один и тот же объект в разных системах координат, нет причины, по которой объект меняется , а только его представление . Мне сказали ( [1] , [2] ), что типичный пример псевдоскаляра в$\mathbb{R}^3$тройное произведение,$(\vec a,\vec b,\vec c) = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c)$поскольку он «меняет знак» при «инверсии». Учтите, однако: в моих обозначениях инверсия — это просто еще одна$GL(n)$матрица$S^i_{\ j} = -\delta^i_{\ j}$, а «бескоординатное» определение тройного произведения

$$s := (a,b,c) = \omega(a,b,c)$$ где $\omega$— некоторая 3-форма, связанная с пространством, известная как форма его объема. В «правом» ортонормированном базисе $E$, то есть, $$e_i \cdot e_j = \delta_{ij}, \qquad \omega(e_1,e_2,e_3) = +1,$$ компоненты $\omega$являются $$\omega_{ijk} = \epsilon_{ijk}$$ и таким образом мы можем выразить $s$как $$s = \omega_{ijk} a^i b^j c^k = \epsilon_{ijk} a^i b^j c^k.$$ Если мы сейчас выберем основу $F = (-e_1,-e_2,-e_3)$(который левый), количество $s$трансформируется как $$\tilde s = \tilde w_{ijk} \tilde a^i \tilde b^j \tilde c^k,$$ где все $a,b,c$контравариантны и $\omega$полностью ковариантна, поэтому $$\tilde a^i = -a^i, \quad \tilde b^j = -b^j, \quad \tilde c^k = -c^k$$ а также $$\tilde \omega_{ijk} = (-1)^3 \omega_{ijk} = -\epsilon_{ijk}$$ по вышеуказанному соотношению. Таким образом $$\tilde s = -\epsilon_{ijk} (-a^i) (-b^j) (-c^k) = +\epsilon_{ijk} a^i b^j c^k = +s,$$ как и ожидалось. Конечно, просто глядя на одно и то же количество (будь то $s$, $\omega$, векторное произведение или что-то еще) в другом базисе нет причин, по которым величина должна меняться, только, возможно, ее числовое описание — вот что означает пассивное преобразование.

я не против верить в это$s$ является псевдоскаляром, но я твердо утверждаю, что пассивное преобразование не может показать отличия от правильного скаляра . Это связано с тем, что, хотя ориентация двух основ может легко различаться, ориентация самого пространства является его неотъемлемым свойством, не зависящим от того, какую основу мы выбираем для разложения его элементов, поэтому пассивных преобразований , «меняющих ориентацию», не существует . Другими словами, хотя приведенный выше результат показывает, что$s$согласуется с тем, что является скаляром (нулевой плотности), это не показывает, что на самом деле он не может быть псевдоскаляром, инверсия координат просто не проверяла это, потому что на самом деле не произошло никакого изменения ориентации (пространства).

(То же самое рассуждение работает без существенных изменений, если$s$заменяется другим типичным примером, векторным произведением, определенным с помощью звезды Ходжа.)

Это оставляет активные преобразования, которые могли бы отличить псевдоскаляр от правильного скаляра. Ну и определяющие (для сравнения)$T = -\mathbb{I}$и введение новых (активно преобразованных) векторов

$$A^i = T^i_j a_j = -\delta^i_{\ j} a_j = -a_i, \quad B^i = -b^i, \quad C^i = -c^i$$ и их тройное произведение в исходном векторном пространстве , $$S = \omega(A,B,C) = \epsilon_{ijk} A^i B^j C^k = (-1)^3 \epsilon_{ijk} a^i b^j c^k,$$ мы действительно получаем $-s$(по цитируемым источникам). Но как обоснованно говорить что-либо о свойствах $s$когда $S$является новой величиной (только определяемой аналогично)?

Что еще хуже, если мы возьмем «произвольное» активное преобразование, заданное общим$T \in GL(n)$и пересчитать$S = (A,B,C)$для изображений$A, B, C$, мы получаем

$$S = \epsilon_{ijk}\ T^i_{\ p} T^j_{\ q} T^k_{\ r}\ a^p b^q c^r = \det T\ \epsilon_{pqr} a^p b^q c^r = \det T \cdot s,$$ так что если мы примем это $s$является псевдоскаляром только потому, что $S$имел разный знак для конкретного выбора $\det < 0$матрицы, мы видим, что те же рассуждения привели бы к $S$также изменяя его величину (заставляя его фактически вести себя как скалярная плотность, а не как псевдоскаляр, с точки зрения его преобразования, выраженного с помощью $s$). Можно утверждать, что активные преобразования $T \not\in O(3)$не являются физическими, но опять же – неправильные повороты не могут быть «достигнуты» в реальном мире лучше, чем, например, повороты без сохранения объема.