В чем смысл обозначения двойного комплексного интеграла, используемого в физике?

В книге Альтланда и Саймонса о конденсированных средах вводятся комплексные интегралы Гаусса. Определение г "=" Икс + я у и г ¯ "=" Икс − я у , комплексный интеграл по г является

∫ г ( г ¯ , г ) "=" ∫ − ∞ ∞ г Икс г у .
Таким образом, любой интеграл по г можно просто разбить на реальную и мнимую части.

Я смущен тем, как на самом деле можно использовать обозначение слева, как оно есть. Кажется, это должно иметь какое-то значение, кроме просто г Икс г у , или не должно быть смысла вводить его.

Двойной интеграл можно разбить ∫ г ( г ¯ , г ) на два отдельных комплексных интеграла и делать их по отдельности? Например, если бы мы написали

∫ г ( г ¯ , г ) "=" ∫ г г ¯ ∫ г г
тогда каковы будут границы интегрирования? Для внутреннего интеграла не является значением г определяется значением г ¯ ? Альтернативно, если рассматривать г и г ¯ как независимые, то при чем здесь связь ( г ) ¯ "=" г ¯ Войдите? Следует ли каждый из этих интегралов рассматривать как регулярные интегралы или интегралы по контуру? Если не разбивать интеграл на два, г ( г ¯ , г ) какой-то элемент области? Как в таком случае выполнить комплексный поверхностный интеграл?

В общем, я не понимаю, что за объект г ( г ¯ , г ) является. Что это такое, и как мы интегрируем его?

Какие вопросы по математике ?
Может оказаться полезным следующее: Согласно уравнению (3.17)
(3.17) ∫ г ( в † , в ) е − в † А в "=" π Н дет А − 1
авторы отмечают: " ...где в представляет собой комплексный N-компонентный вектор, г ( в † , в ) ≡ ∏ я "=" 1 Н г р е в я г я м в я , и А представляет собой комплексную матрицу с положительно определенной эрмитовой частью».

Ответы (3)

Сложные обозначения 1

(1) ∫ С г г *   г г ,
(2) ∫ С г 2 г ,
и подобные обозначения означают реальное двойное интегрирование
(3) Н ∬ р 2 г Икс   г у
в комплексной плоскости С ≅ р 2 с координатами г "=" Икс + я у , где Н — обычный нормировочный коэффициент, который зависит от автора.

Н "=" 1 соглашение:

  • A. Altland & B. Simons, Теория поля конденсированных сред, 2-е изд., 2010 г. См., например, предложение выше уравнения. (3.11).

Н "=" 2 соглашение:

  • Дж. Полчински, Теория струн, Vol. 1, 1998. См., например, ур. (2.1.7).

  • R. Blumenhagen, D. Lust & S. Theisen, Basic Concepts of String Theory, 2012. См., например, сноску на с. 85.

Н "=" 2 я соглашение:

  • JH Negele & H. Orland, Quantum Many-Particle Systems, 1998. См., например, ур. (1.124).

--

1 Обратите внимание, что г * "=" Икс − я у обозначает комплексно-сопряженную переменную. Это не независимая комплексная переменная. В частности, интегрирование (1) закончилось С . это еще не конец С 2 . См. также, например, этот пост Math.SE, этот пост Phys.SE и ссылки в них.

На практике существует ли способ «интегрировать более г и г ¯ не переключаясь на Икс и у ?
Да. Например, в комплексном когерентном методе состояния . См., например, этот пост Math.SE.
Не могли бы вы дать ссылку на ресурс, который выполняет явные вычисления в этом формализме? Например, правомерны ли здесь расчеты ?

Этот вопрос часто возникает в конформной теории поля, когда мы можем интересоваться евклидовой теорией поля, но аналитически продолжаем С 2 . Предположим, у нас есть реальные, евклидовы координаты ( Икс , у ) и сформировать комплексные координаты,

г "=" Икс + я у , г ¯ "=" Икс − я у .

Легко показать, что метрика г Икс 2 + г у 2 "=" г г г г ¯ , то есть, г г г "=" г г ¯ г ¯ "=" 0 и г г г ¯ "=" г г ¯ г "=" 1 2 . Отсюда мы можем сделать вывод, что мера интегрирования равна

г г г г ¯ "=" 2 г Икс г у

и, таким образом, разница в два раза между ∫ г 2 г и ∫ г 2 Икс . Мы можем лечить г и г ¯ как полностью независимые, что затем расширяет нас до С 2 . вернуться к р 2 ⊂ С 2 , мы должны сделать идентификацию, которая г ¯ "=" г ⋆ , то есть связаны сопряжением и не являются независимыми.

Не могли бы вы привести пример вычисления с использованием г г и г г ¯ , который не просто переключается обратно на г Икс и г у ?
@knzhou Ну вообще контурный интеграл ∫ г г ∫ г ¯ лечение г и г ¯ как самостоятельные средства мы интегрируем г по некоторому контуру С 1 и г ¯ по некоторому контуру С 2 . Обратите внимание, что порядок имеет значение; то есть, ∫ С 1 г г ∫ С 2 г г ¯ ≠ ∫ С 1 г г ¯ ∫ С 2 г г . Существуют и другие тонкости при интегрировании сложной функции с несколькими переменными по нескольким контурам.
Но как насчет конкретного случая интегрирования по комплексной плоскости? Это моя проблема - это сбивает с толку то, что контуры С 1 и С 2 было бы в этом случае.

Мне тоже не нравится это обозначение, потому что оно подразумевает смысл, которого нет.

Авторы определяют

∫ г ( г ¯ , г ) ≡ ∫ − ∞ ∞ г Икс г у .
Обратите внимание ≡ вместо "=" знак.

г ( г , г ¯ ) буквально является элементом площади евклидовой плоскости. Пример под рукой из книги

∫ г ( г ¯ , г ) е − г ¯ ж г ≡ ∫ − ∞ ∞ г Икс г у е − Икс 2 ж − у 2 ж "=" π ж 2

Здесь нет двух независимых комплексных переменных. Один интегрирует функции из С → С рассматривается как функция от р 2 → С .

Если бы мне пришлось угадывать, я бы сказал, что они выбрали обозначение, потому что может показаться немного странным писать, например

∫ г Икс г у е − г ¯ ж г .

Возможно, менее запутанным выбором обозначения было бы г ( г , г ¯ ) ≡ г ℜ ( г ) г ℑ ( г ) с указанием интегрирования по действительной и мнимой части отдельно.

Я не могу согласиться. Если обозначение на самом деле означает не что иное, как два действительных интеграла, то зачем тратить страницу на сложные интегралы Гаусса, если они все такие же, как действительные?
Кроме того, на Math.SE есть этот вопрос, который демонстрирует, что манипуляции с г ( г ¯ , г ) действительно может быть возможным/полезным.
Ну один сложный гауссиан есть как раз два настоящих. Если вы посмотрите на формулы, то увидите, что они полностью аналогичны реальному случаю. Но поскольку они будут активно использоваться при введении бозонного функционального интеграла, есть веская причина дать обстоятельную ссылку. Просто взглянув на сообщение Math.SE, я не уверен, но я посмотрю на него. Может быть, там больше структуры.
Я думаю ты прав. Точнее авторы отмечают: « Здесь, ∫ г ( г ¯ , г ) ≡ ∫ − ∞ ∞ г Икс г у представляет независимое интегрирование по действительной и мнимой частям г "=" Икс + я у . Тождество легко доказать: в силу того, что г ¯ г "=" Икс 2 + у 2 , интеграл разлагается на две части, каждая из которых эквивалентна уравнению (3.9) с а "=" 2 ж ." Уравнение (3.9)
(3.9) ∫ − ∞ ∞ г Икс е − а 2 Икс 2 "=" 2 π а , р е а > 0
В чем смысл обозначения двойного комплексного интеграла, используемого в физике?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 5v