Внутренние пространства продукта

Я пытаюсь согласовать определение пространств внутренних произведений, с которым я столкнулся в математике, с тем, с которым я недавно столкнулся в физике. В частности, если$(,)$обозначает скалярный продукт в векторном пространстве$V$над$F$:

1. $(u + v, w) = (u, w) + (v, w) \text{ for all } u, v, w \in V$,

2. $(\alpha v, w) = \alpha(v, w) \text{ for all } v, w \in V$и$\alpha \in F$,

3. $(v, w) = (w, v)^* \text{ for all } v, w \in V$, (* обозначает комплексное сопряжение)

были некоторые из свойств, перечисленных в моем курсе математики.

Однако в физике внутренний продукт считается линейным по второму аргументу и$(v,\sum(\lambda_i w_i)) = \sum(\lambda_i (v,w_i))$где$v$и$w_i$являются кетами в гильбертовом пространстве и$\lambda_i$являются комплексными числами.

Для меня эти свойства внутреннего продукта несовместимы. Если первое определение внутреннего продукта верно, то я думаю$(v,\sum(\lambda_i w_i)) = \sum((\lambda_i)^* (v,w_i))$где$^*$обозначает комплексное сопряжение.