Вакуумное ожидаемое значение и минимумы потенциала

Имеем функционал внешнего источника$J$, что дает нам множество полевых операторов путем функционального дифференцирования:

$$e^{-iE[J]} = \int {\cal{D}}\phi\, e^{iS[\phi]+iJ\phi}$$ $$\phi_{cl}=\langle\phi\rangle_J = -\frac{\delta E}{\delta J}$$ Где $\langle\phi\rangle_J$является вевом из $\phi$при наличии внешнего источника $J$. Это можно рассматривать как видимый «ответ» системы на источник, и обычно его обозначают как новую переменную, называемую «классическим полем». Мы хотели бы найти его, когда нет внешних источников: $J=0$.
Для этого затем проделывают трюк с преобразованием Лежандра , получая эффективное действие : $$\Gamma[\phi_{cl}] = - E - J\phi_{cl}\quad\quad\frac{\delta\,\Gamma}{\delta \phi_{cl}} = - J$$ Вспоминая нашу цель найти $\phi_{cl}$в $J=0$, приходим к уравнению. $$\frac{\delta\,\Gamma}{\delta \phi_{cl}} = 0$$ Добавление дополнительного предположения о том, что $\phi_{cl}$не зависит от пространства и времени: $\phi_{cl}(x) = v$функционал эффективного действия $\Gamma[\phi_{cl}]$затем сводится к эффективному потенциалу $V_{eff}(v)$и уравнение становится. $$\frac{dV_{eff}}{dv} = 0$$ Теперь, как правильно заметил Дэвид Веркаутерен, $V_{eff}(v)$это не та же функция, что и $V(\phi)$. Но обычно это хорошее первое приближение, потому что мы обычно рассматриваем системы, в которых «реальное» квантовое поле слабо флуктуирует вокруг своего вакуума: $\phi(x)=v+\eta(x)$с $\eta$быть маленьким.