Представляют ли оператор симметрии UUU и его генератор QQQ, действующие на вакуум |0⟩|0⟩|0\rangle, новый вырожденный вакуум?

Наличие минимально возможной энергии (которую мы можем принять равной нулю) является лишь необходимым, а не достаточным условием для того, чтобы состояние можно было квалифицировать как состояние вакуума. Для государства$|0\rangle$чтобы квалифицироваться как состояние вакуума, оно также должно обладать свойством кластера . Свойство кластера

В разделе 19.1 книги Вайнберга « Квантовая теория полей» , том 2, объясняется, что среди всех состояний с нулевой энергией мы можем выбрать базис$|k\rangle$в котором$\langle j|A|k\rangle=0$для$j\neq k$для всех местных операторов$A$. (Я рассматриваю случай спонтанно нарушенной дискретной симметрии, чтобы избежать технических сложностей, но та же идея применима и в случае непрерывной симметрии.) Вайнберг объясняет, что каждое из этих базисных состояний обладает свойством кластерной декомпозиции, но другие суперпозиции эти базисные состояния не имеют. Только базовые состояния$|k\rangle$квалифицируются как состояния вакуума, хотя их произвольные суперпозиции также имеют нулевую энергию.

Если$|0\rangle$является одним из квалифицированных состояний вакуума и$\hat Q$является генератором непрерывной SSB-симметрии, то$|\theta\rangle \equiv\exp(i\hat Q\theta)|0\rangle$является другим квалифицированным состоянием вакуума. В случае непрерывной симметрии мы даже не можем рассматривать состояния$|\theta\rangle$с разными$\theta$как принадлежащие одному и тому же сепарабельному гильбертовому пространству, потому что сепарабельное гильбертово пространство не может иметь континуума взаимно ортонормированных состояний. Это и есть «техническая сложность», о которой я упоминал выше. Сопутствующее осложнение предотвращает$\hat Q|0\rangle$быть четко определенным вектором состояния, потому что$\hat Q$должно быть чем-то вроде производной по$\theta$, а состояния с разными значениями$\theta$даже не принадлежат одному и тому же (сеперабельному) гильбертовому пространству.

Возможно, этих технических сложностей можно избежать, работая в конечном пространственном объеме; Я не уверен. Строгая SSB не возникает в конечном пространственном объеме, но мы можем изучить, как возникает SSB в пределе бесконечного объема.

Несмотря на то, что критерий вакуумного отбора (кластерный принцип) часто изображается как отдельный принцип, как я описал его здесь, на самом деле это просто идеальный частный случай принципа, который мы могли бы использовать для диагностики после измерения наблюдаемой величины. в модели, которая включает измерительное оборудование и т. д. как часть квантовой системы. В случае SSB наблюдаемая, которая была «измерена», является наблюдаемой, собственные состояния которой являются базисными состояниями.$|k\rangle$которые не могут быть связаны друг с другом локальными операторами, так что это вакуумные состояния, которые мы фактически испытываем после этого «измерения», даже если мы начали с их суперпозиции. С этой точки зрения SSB может возникать для всех практических целей даже в пространстве конечного объема по той же причине («декогеренция»), по которой мы практически не можем наблюдать суперпозицию результатов измерения после измерения. На практике ферромагнетик не обязательно должен быть бесконечно большим, чтобы стать спонтанно намагниченным.

Связанный:

Почему нарушается симметрия?

Что такое спонтанное нарушение симметрии в КВАНТОВЫХ системах?

Почему мы предполагаем, что пространственный объем бесконечен?

Приложение: еще одна ссылка

В контексте спиновых систем (таких как модель Изинга) раздел 23.3 («Параметр порядка и свойства кластера») в книге Зинна-Джастина « Квантовая теория поля и критические явления » показывает, что требование, чтобы состояния вакуума удовлетворяли свойству кластера, однозначно выбирает обычную основу SSB. состояний и устраняет все другие их суперпозиции, даже если все они имеют одинаковую энергию.