Вектор отражения (трассировка лучей)

Question

Вектор отражения (трассировка лучей)

оптика
Физика
топология
измерения
геометрическая оптика

unfinished_sentenc

Закон преломления Снеллиуса на границе двух изотропных сред определяется уравнением:

\begin{aligned} (1) & н_{1} грех θ_{1} "=" н_{2} грех θ_{2} \end{aligned}

$\begin{align} \tag{1} n_1 \,\text{sin} \,\theta_1 = n_2 \, \text{sin}\,\theta_2 \end{align}$

$\qquad$ где $\theta_1$ угол падения и $\theta_2$ угол преломления. $n_1$ – показатель преломления оптической среды перед границей раздела, а $n_2$ – показатель преломления оптической среды за границей раздела.

Уравнение (1) может быть выражено в векторной форме как

\begin{matrix} (2) & н_{1} (я \times н) "=" н_{2} (т \times н) \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} n_1(\textbf{i} \times \textbf{n}) = n_2 (\textbf{t} \times \textbf{n}) \end{equation}$

$\qquad$ где

i

$\textbf{i}$ и

t

$\textbf{t}$ - единичный вектор направления падающего и прошедшего лучей соответственно.

n

$\textbf{n}$ - единичный вектор нормали к границе раздела двух сред, направленный из среды 1 с показателем преломления

n_{1}

$n_1$ в среду 2 с показателем преломления

n_{2}

$n_2$ . Сходным образом

r

$\textbf{r}$ — вектор отраженного луча.

Как может уравнение

\begin{aligned} (3) & т "=" мю я + н \sqrt{1 - {мю}^{2} [1 - (ни)^{2}]} - мю н (ни) \end{aligned}

$\begin{align}\tag{3} \textbf{t} = \mu \textbf{i} + n\sqrt{1- \mu^2[1-(\textbf{ni})^2]} - \mu \textbf{n}(\textbf{ni}) \end{align}$ использовать для вывода уравнения

\begin{matrix} (4) & н "=" \frac{я - р}{\sqrt{2 [1 - (я р)]}} ? \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} \textbf{n} = \dfrac{\textbf{i}-\textbf{r}}{\sqrt{2[1-(\textbf{i}\textbf{r})]}}? \end{equation}$

$\qquad$ Здесь $\mu = \dfrac{n_1}{n_2}$ и $\textbf{n}\textbf{i}= n_{\text{x}} i_{\text{x}} + n_{\text{y}}i_{\text{y}} + n_{\text{z}} i_{\text{z}}$ обозначает точечное (скалярное) произведение векторов $\textbf{n}$ и $\textbf{i}$ .

В ссылке [1] в нем говорится, что из уравнения (3) следует

\begin{aligned} (5) & р "=" я - 2 н (н я) \end{aligned}

$\begin{align}\tag{5} \textbf{r} = \textbf{i} - 2\textbf{n}(\textbf{n}\textbf{i}) \end{align}$ Простая модификация

\begin{aligned} (6) & н "=" \frac{я - р}{2 (н я)} \end{aligned}

$\begin{align}\tag{6} \textbf{n} = \dfrac{\textbf{i}-\textbf{r}}{2(\textbf{n}\textbf{i})} \end{align}$ В нем говорится, что «... путем вычисления скалярных произведений векторных

n

$\textbf{n}$ с обеими частями уравнения (6) можно выразить скалярное произведение

(n i)

$(\textbf{n}\textbf{i})$ в форме, показанной в уравнении (4)», которому я не могу следовать) =

Может ли кто-нибудь объяснить, как получается уравнение (4)?

Использованная литература:

Антонин Микш и Павел Новак, Определение единичных векторов нормали к асферическим поверхностям с учетом единичных векторов направления входящих и исходящих лучей: комментарий, Оптическое общество Америки, 2012 г., стр. 1356

Ответы (1)

Вектор отражения (трассировка лучей)

Фробениус · Answer 1

Интересно, зачем вся эта физика (преломление, отражение, закон Снеллиуса и т. д.) для того, чтобы задать простой математический вопрос в векторном исчислении: вопрос о нормализации вектора.

\begin{matrix} (01) & н "=" \frac{я - р}{‖ я - р ‖} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{n}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{i}\boldsymbol{\!-\!}\mathbf{r}}{\Vert\mathbf{i}\boldsymbol{\!-\!}\mathbf{r}\Vert} \tag{01}\label{01} \end{equation}$

\begin{matrix} (02) & ‖ я - р ‖^{2} "=" ‖ я ‖^{2} + ‖ р ‖^{2} - 2 (я \cdot р) "=" 1 + 1 - 2 (я \cdot р) "=" 2 [1 - (я \cdot р)] \end{matrix}

$\begin{equation} \Vert\mathbf{i}\boldsymbol{\!-\!}\mathbf{r}\Vert^{\bf 2}\boldsymbol{=}\Vert\mathbf{i}\Vert^{\bf 2}\boldsymbol{+}\Vert\mathbf{r}\Vert^{\bf 2}\boldsymbol{-}2(\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})=1\boldsymbol{+}1\boldsymbol{-}2(\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\boldsymbol{=}2\left[1\boldsymbol{-}(\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\right] \tag{02}\label{02} \end{equation}$ то есть

\begin{matrix} (03) & ‖ я - р ‖ "=" \sqrt{2 [1 - (я \cdot р)]} \end{matrix}

$\begin{equation} \Vert\mathbf{i}\boldsymbol{\!-\!}\mathbf{r}\Vert\boldsymbol{=}\sqrt{2\left[1\boldsymbol{-}(\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\right]\vphantom{\frac12}} \tag{03}\label{03} \end{equation}$ так

\begin{matrix} (04) & н "=" \frac{я - р}{\sqrt{2 [1 - (я \cdot р)]}} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{n}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{i}\boldsymbol{\!-\!}\mathbf{r}}{\sqrt{2\left[1\boldsymbol{-}(\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\right]\vphantom{\frac12}}} \tag{04}\label{04} \end{equation}$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

РЕДАКТИРОВАТЬ

\begin{matrix} (05) & {\begin{cases} н \cdot я "=" потому что θ \\ я \cdot р "=" потому что (π - 2 θ) "=" - потому что 2 θ \end{cases}} \overset{потому что 2 θ "=" 2 {потому что}^{2} θ - 1}{"=" "=" "=" "=" "=" "=" "=" "=" ⟹} - (я \cdot р) "=" 2 (н \cdot я)^{2} - 1 \end{matrix}

$\begin{equation} \left. \begin{cases} \mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{i}\boldsymbol{=}\cos\theta\\ \:\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}\boldsymbol{=}\cos(\pi\!\boldsymbol{-}\!2\theta)\!\boldsymbol{=}\!\boldsymbol{-}\!\cos2\theta \end{cases}\!\! \right\} \stackrel{\cos2\theta\boldsymbol{=}2\cos^{2}\theta\boldsymbol{-}1}{\boldsymbol{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!\Longrightarrow}}\boldsymbol{-}(\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\boldsymbol{=}2(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{i})^{2}\!\boldsymbol{-}\!1 \tag{05}\label{05} \end{equation}$ вот почему ваше уравнение (6)

\begin{matrix} (06) & н "=" \frac{я - р}{2 (н \cdot я)} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{n}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{i}\!\boldsymbol{-}\!\mathbf{r}}{2(\mathbf{n}\!\boldsymbol{\cdot}\!\mathbf{i})} \tag{06}\label{06} \end{equation}$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

По теме: Закон Снелла в векторной форме

Вектор отражения (трассировка лучей)

unfinished_sentenc

Ответы (1)

Фробениус

Почему вогнутое зеркало формирует одновременно два изображения?

Как наблюдаются интерференционные картины тонких пленок?

Изображение вогнутого зеркала, когда объект находится дальше фокуса

Правильна ли призменная оптика xkcd и/или Pink Floyd?

Рассчитать вектор поляризации при отражении или преломлении от диэлектрической поверхности раздела

Как думать о виртуальных образах?

Что это за абстрактная радуга?

Эйкональное приближение для волновой оптики. Зачем следовать единичному вектору параллельно вектору Пойнтинга?

Улучшает ли кривизна экрана IMAX каким-либо образом просмотр 3D-видеопроекций для зрителей, не находящихся в «сладкой зоне»?

Бесконечное полное внутреннее отражение